Representaciones equivalentes de estados estacionarios en Mecánica Cuántica

Question

Representaciones equivalentes de estados estacionarios en Mecánica Cuántica

energía
Física
operadores
hamiltoniano
evolución del tiempo
mecánica cuántica

usuario100411

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se da como

i ℏ \frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \hat{H} | ψ (t) ⟩ .

$i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}| \psi(t) \rangle = \hat{H} | \psi(t) \rangle.$ Para encontrar cómo evolucionan los estados en el tiempo, queremos encontrar el operador lineal

\hat{U} (t, t_{0})

$\hat{U}(t,t_0)$ tal que

| ψ (t) ⟩ = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ (t_{0}) ⟩ .

$| \psi(t) \rangle = \hat{U}(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle.$ Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger se obtiene

\frac{\partial \hat{tu} (t, t_{0})}{\partial t} = - \frac{i}{ℏ} \hat{H} \hat{tu} (t, t_{0})

$\frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{ \partial t} = - \frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}(t,t_0)$ esto lleva a

\hat{tu} (t, t_{0}) = {mi}^{\frac{- i (t - t_{0}) \hat{H}}{ℏ}}

$\hat{U}(t,t_0) = e^{\frac{-i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}$ por eso

| ψ (t) ⟩ = {mi}^{- \frac{i (t - t_{0}) \hat{H}}{ℏ}} | ψ (t_{0}) ⟩

$| \psi(t) \rangle = e^{-\frac{i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}|\psi(t_0) \rangle$ dónde

e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^{n}}{n!} {\hat{A}}^{n} = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^{2}}{2!} {\hat{A}}^{2} + \frac{a^{3}}{3!} {\hat{A}}^{3} + . . .

$e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^n}{n !}\hat{A}^n = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^2}{2 !} \hat{A}^2 + \frac{a^3}{3 !}\hat{A}^3 +...$

Pregunta:
Dada la expansión de la serie del operador de $e^{a \hat{A}}$ anterior, ¿cómo se sigue que si consideramos un hamiltoniano independiente del tiempo? $\hat{H_0}$ donde soluciones- los valores propios $E_n$ y estados propios $| \psi_n \rangle$ (estados estacionarios)- se expresan de manera equivalente como

{mi}^{\frac{- i t \hat{H_{0}}}{ℏ}} | ψ_{norte} ⟩ = {mi}^{- \frac{i {mi}_{norte} t}{ℏ}} | ψ_{norte} ⟩ ?

$e^{\frac{-it \hat{H_0}}{\hbar}}| \psi_n \rangle = e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} | \psi_n \rangle?$

Gracias.

ZeroTheHero

Presuntamente falta un

\partial_{t}

$\partial_t$ en el primer termino...

ZeroTheHero

No estoy seguro de seguir. Parece que ya ha hecho el trabajo: si toma la serie y asume que el estado es un estado propio de

\hat{A}

$\hat A$ con valor propio

λ

$\lambda$ , entonces

\hat{A} \to λ

$\hat A\to \lambda$ en todas partes en serie, que entonces es solo la serie para la función exponencial.

Respuestas (1)

Representaciones equivalentes de estados estacionarios en Mecánica Cuántica

No estoy seguro de seguir. Parece que ya ha hecho el trabajo: si toma la serie y asume que el estado es un estado propio de $\hat A$ con valor propio $\lambda$ , entonces $\hat A\to \lambda$ en todas partes en serie, que entonces es solo la serie para la función exponencial.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Si $A$ es un operador arbitrario, con base propia

\begin{matrix} (1) & A | a ⟩ = a | a ⟩ \end{matrix}

$A|a\rangle=a|a\rangle\tag{1}$ entonces el operador

f (A)

$f(A)$ se define a través de

\begin{matrix} (2) & F (A) | a ⟩ = F (a) | a ⟩ \end{matrix}

$f(A)|a\rangle=f(a)|a\rangle\tag{2}$

Si la función $f$ es analítico,

\begin{matrix} (3) & F (X) = \sum_{norte} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} X^{norte} \end{matrix}

$f(x)=\sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\tag{3}$ entonces también puedes definir

\begin{matrix} (4) & F (A) \equiv \sum_{norte} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} A^{norte} \end{matrix}

$f(A)\equiv \sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}A^n\tag{4}$ y, siempre que la suma converja, concuerda con

(2)

$(2)$ , como se sigue de

A^{n} | a ⟩ = a^{n} | a ⟩

$A^n|a\rangle=a^n|a\rangle$ (aquí hay que suponer que la serie de Taylor de

f

$f$ converge para todos

x

$x$ en el espectro de

A

$A$ ).

En su caso particular, $A=H$ , $f=\exp$ , y $|a\rangle=|\psi_n\rangle$ , Lo que significa que

\begin{matrix} (5) & {mi}^{i H t} | ψ_{norte} ⟩ = {mi}^{- i {mi}_{norte} t} | ψ_{norte} ⟩ \end{matrix}

$\mathrm e^{iHt}|\psi_n\rangle=\mathrm e^{-iE_nt}|\psi_n\rangle \tag{5}$ se cumple por definición (cf.

(2)

$(2)$ ).

Gracias por tu respuesta. ¿Podría explicar (o hacer referencia a algún resultado) por qué? $F (A) = \sum_{norte} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} A^{norte} ⟹ F (A) | a ⟩ = F (a) | a ⟩$ $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n \implies f(A)| a \rangle = f(a)|a \rangle$ si asumimos que $f$ converge para todos los valores propios de $\hat{A}$ . ¿Se sigue de un resultado en cálculo funcional?
@JohnDoe bueno, si tomas $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n$ y actuar en ambos lados con $|a\rangle$ , usted obtiene $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n|a\rangle$ . Si utiliza $A^n|a\rangle= a^n|a\rangle$ , esto se convierte $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n|a\rangle$ . Finalmente, si se factoriza $|a\rangle$ en la derecha, obtienes $f(A)|a\rangle = \left[\sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n\right]|a\rangle=f(a)|a\rangle$ , según sea necesario.
Bien, ya veo, entonces el único cálculo funcional real es realmente definir $f(A)$ de la definición de $f(x)$ ?

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