En mecánica cuántica, ¿por qué es ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} en lugar de ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Question

En mecánica cuántica, ¿por qué es ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} en lugar de ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

jjepsuomi

Soy un novato leyendo mecánica cuántica de "Introduction to Quantum Meachanics" de Griffiths y en las primeras páginas del libro el autor define:

⟨ X ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} X | Ψ (X, t) | d X = \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (X) Ψ d X,

$\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x,t)|\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* (x)\Psi \,dx,$

⟨ v ⟩ = \frac{d}{d t} (⟨ X ⟩) = - \frac{i ℏ}{metro} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} d X,

$\langle v\rangle = \frac{d}{dt}\left(\langle x\rangle\right)= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

⟨ pag ⟩ = metro ⟨ v ⟩ = - i ℏ \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} d X,

$\langle p\rangle = m\langle v\rangle= -i\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

entonces, para mí, el autor parece estar trabajando con expectativas, lo que tenía mucho sentido para mí. Luego busqué en Google la expresión de energía cinética y esperaba descubrir que:

⟨ T ⟩ = \frac{⟨ pag ⟩^{2}}{2 metro},

$\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m},$

pero en cambio, parece que

⟨ T ⟩ = \frac{⟨ {pag}^{2} ⟩}{2 metro} .

$\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}.$

¿Por qué es esto? No entiendo qué pasó en el caso de la energía cinética. ¿Por qué el autor ahora no está trabajando con la cantidad de movimiento esperada en el caso de la energía cinética esperada? ¿Puedes tal vez mostrarme una derivación de $\langle T\rangle$ y lo que es más importante, ¿explicación de por qué se hace así ? En el libro, el autor dice que en general:

⟨ q (X, pag) ⟩ = \int Ψ^{*} q (X, \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X}) Ψ d X,

$\langle Q(x, p)\rangle = \int \Psi^*Q(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x})\Psi\,dx,$

con el aviso de que cada $p$ debe ser reemplazado con $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ al calcular la expectativa de interés. Sin embargo, la parte del por qué de esto era un poco inexistente.

Martín C.

La primera respuesta aquí podría ayudarlo: physics.stackexchange.com/questions/424800/…

biofísico

Mientras tanto, explicaré con intuición en lugar de matemáticas. El impulso tiene una dirección, la energía cinética no. Puede tener un impulso medio de

0

$0$ pero una energía cinética media distinta de cero. Realizar el promedio del cuadrado del impulso soluciona esto.

jjepsuomi

@MartinC. Gracias, en realidad revisé esa respuesta antes, pero desafortunadamente no se me abrió :/

jjepsuomi

@AaronStevens gracias, la intuición ya ayudó :) Por supuesto, los detalles aún están en la niebla para mí. ¿Alguna otra recomendación de libro donde esto podría derivarse explícitamente?

ZeroTheHero

Un ejemplo más simple de la distinción entre

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ y

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ sería

⟨ x ⟩^{2} \neq ⟨ x^{2} ⟩

$\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; necesitarías

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2\rangle$ para obtener la energía potencial media de un oscilador armónico, por ejemplo.

biofísico

@ZeroTheHero No creo que el OP esté preguntando sobre la diferencia entre

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ y

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ . Creo que el OP solo se pregunta por qué aparece uno en la energía cinética promedio en lugar del otro.

knzhou

Si

A = B

$A = B$ , entonces

⟨ A ⟩ = ⟨ B ⟩

$\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , porque podemos hacer lo mismo en ambos lados de una ecuación. Eso es absolutamente todo lo que hay que hacer. Si piensas

H = p^{2} / 2 m

$H = p^2/2m$ , entonces

⟨ H ⟩ = ⟨ p^{2} / 2 m ⟩

$\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

Respuestas (2)

En mecánica cuántica, ¿por qué es ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} en lugar de ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

La primera respuesta aquí podría ayudarlo: physics.stackexchange.com/questions/424800/…
Mientras tanto, explicaré con intuición en lugar de matemáticas. El impulso tiene una dirección, la energía cinética no. Puede tener un impulso medio de $0$ pero una energía cinética media distinta de cero. Realizar el promedio del cuadrado del impulso soluciona esto.
@MartinC. Gracias, en realidad revisé esa respuesta antes, pero desafortunadamente no se me abrió :/
@AaronStevens gracias, la intuición ya ayudó :) Por supuesto, los detalles aún están en la niebla para mí. ¿Alguna otra recomendación de libro donde esto podría derivarse explícitamente?
Un ejemplo más simple de la distinción entre $\langle p\rangle^2$ y $\langle p^2\rangle$ sería $\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; necesitarías $\langle x^2\rangle$ para obtener la energía potencial media de un oscilador armónico, por ejemplo.
@ZeroTheHero No creo que el OP esté preguntando sobre la diferencia entre $\langle p\rangle^2$ y $\langle p^2\rangle$ . Creo que el OP solo se pregunta por qué aparece uno en la energía cinética promedio en lugar del otro.
Si $A = B$ , entonces $\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , porque podemos hacer lo mismo en ambos lados de una ecuación. Eso es absolutamente todo lo que hay que hacer. Si piensas $H = p^2/2m$ , entonces $\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

alfredo centauro · Answer 1

¿Por qué es esto?

Para ser concretos, veamos un ejemplo específico para el cual $\langle T \rangle \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m}$

Considere el caso de que tenemos una partícula con vector de estado (trabajando en 1D por simplicidad)

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + pag ⟩ + | - pag ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+p\rangle + |-p\rangle\right)$

dónde $p \ne 0$ y $P\,|\pm p\rangle = \pm p\,|\pm p\rangle$ (Estos son autos del operador de cantidad de movimiento).

Claramente, el valor esperado del impulso es

⟨ PAG ⟩ = ⟨ ψ | PAG | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (+ pag - pag) = 0

$\langle P\rangle = \langle\psi|P|\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(+p -p\right) = 0$

Esto se debe a que la medida del impulso tiene la misma probabilidad de producir $+p$ y $-p$ .

Sin embargo , una medición de energía cinética solo puede producir

T = \frac{(\pm pag)^{2}}{2 metro} = \frac{{pag}^{2}}{2 metro}

$T = \frac{(\pm p)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

y entonces

⟨ T ⟩ = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} \neq \frac{⟨ PAG ⟩^{2}}{2 metro} = 0

$\langle T \rangle = \frac{p^2}{2m} \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m} = 0$

biofísico · Answer 2

Si lo piensa, esto realmente no se reduce a QM y solo depende de cómo tome los promedios. QM solo entra en juego si realmente desea calcular esos promedios dado el vector de estado del sistema.

Lo sabemos $T=\frac{p^2}{2m}$ , por lo que el promedio de esto es entonces

⟨ T ⟩ = ⟨ \frac{{pag}^{2}}{2 metro} ⟩ = \frac{⟨ {pag}^{2} ⟩}{2 metro}

$\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$

Dado que, en general, $\langle p^2\rangle\neq\langle p \rangle^2$ , aquí es donde terminamos.

Si desea encontrar este valor utilizando la base de posición, invocamos QM:

⟨ T ⟩ = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int Ψ^{*} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ d X

$\langle T\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi\ dx$

Esto se debe a que en la base de la posición, el $P^2$ el operador es $-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ .

Gracias, me ayudó un poco, pero todavía no lo entiendo al 100%. La razón por la que creo que me confunde es porque en el caso de la velocidad, usamos la posición esperada. En el caso del momento, usamos la velocidad esperada. Pero en el caso de la energía cinética, NO usamos el impulso esperado. ¿Conoces algún libro quizás donde esto se explique en detalle? :)
@jjepsuomi ¿Qué parte? ¿Cómo funcionan los promedios con funciones de otras variables, o cómo se calculan esos promedios? Tenga en cuenta que el corazón de su pregunta (por qué $\langle p^2\rangle$ en lugar de $\langle p \rangle^2$ ) no se trata de control de calidad
@jjepsuomi La energía cinética usa el valor esperado del impulso al cuadrado. La respuesta muestra explícitamente cómo funciona esto: $\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$ .
Gracias, creo que ya lo entendí, eh, entonces fue así de simple x)
@jjepsuomi Lo siento, no me di cuenta de que solo querías un ejemplo que mostrara que $\langle p\rangle^2\neq\langle p^2\rangle$ para un caso especifico.
@AaronStevens no se preocupe por eso, ¡gracias por su ayuda de todos modos! =) eso no era realmente lo que quería, mi confusión era que "¿por qué no era el valor esperado de $\langle p\rangle$ utilizado en lugar de $\langle p^2\rangle$ . Yo estaba esperando $\langle T \rangle$ definirse en términos de $\langle p\rangle$ y no en términos de $\langle p^2\rangle$ porque un patrón similar parece haber sido utilizado en el caso de $\langle v\rangle$ y $\langle p\rangle$ . Su respuesta intuitiva (que también se indicó en la respuesta de Alfred Centauri) me dejó claro ahora que $\langle p^2\rangle$ se necesita para que...
@jjepsuomi, está bien. Parecía que querías el ejemplo específico ya que aceptaste la respuesta de Alfred como la respuesta correcta. Simplemente no quería que pensaras que no estaba tratando de responder a tu pregunta y solo te estaba lanzando información :)
No hay problema @AaronStevens =) Lo siento, mi intención no era degradar tu respuesta por no aceptarla. Era solo que, soy nuevo en este tema y pensé que debería aceptar la respuesta que selló el trato para mí :) No lo entendí de su respuesta, creo que tal vez, porque aunque trivialmente el resultado se deduce de $T=p^2/2m$ , esta forma simple de hacerlo parecía desviarse extrañamente del patrón de cómo $\langle v\rangle$ y $\langle p\rangle$ fueron calculados. Espero que entiendas lo que quiero decir :) Sin embargo, si prefiero aceptar la respuesta más votada, entonces está perfectamente bien para mí :)
@jjepsuomi Acepta cualquier respuesta que desee. No estoy molesto por eso. Simplemente me enojo con las personas aquí que simplemente arrojan información en una respuesta cuando la información no es útil para el OP. Solo quería asegurarme de que no estaba siendo así. Buena suerte en su viaje educativo.
Excelente, te entiendo y estoy de acuerdo :) ¡Muchas gracias y todo lo mejor para ti también!

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En mecánica cuántica, ¿por qué es ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 ​​\rangle}{2m} en lugar de ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

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