El límite inferior de la energía es el mínimo potencial

Supongamos que tenemos una partícula de masa metro que está en un estado propio | ψ ⟩ del hamiltoniano H ^ = T ^ + V ^ , dónde T ^ es el operador de energía cinética y V ^ = V ( r ^ ) es el operador de energía potencial. Si el potencial tiene cota inferior V 0 , entonces es necesario que el valor propio de la energía mi de | ψ ⟩ ser mayor que V 0 ? Clásicamente, esto es cierto, ya que consideramos que la energía cinética negativa es físicamente irrealizable/sin sentido. Sin embargo, no sé si necesariamente puedo decir lo mismo en el caso cuántico. Por ejemplo, lo que estoy tentado a hacer es escribir

⟨ ψ | T ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | mi − V ^ | ψ ⟩

y decir "si mi < V 0 , entonces el RHS es necesariamente negativo, lo que implica que el LHS también lo es, lo que consideraremos como físicamente sin sentido. Si mi = V 0 , entonces | ψ ⟩ es trivial", pero no estoy seguro de si eso es correcto.

Confundido por eso, entonces quise mostrar que, si mi < V 0 , entonces un no trivial | ψ ⟩ no es normalizable. Sin embargo, no estoy completamente seguro de cómo hacer esto.

@AccidentalFourierTransform Oh, lo siento, no, después de analizarlo un poco más, creo que tu respuesta está bien. Siempre espero un rato antes de aceptar una respuesta. :)

Respuestas (1)

El operador T ^ es definido positivo (ae), lo que significa que para la mayoría de los kets | φ ⟩ ≠ 0 tienes

⟨ φ | T ^ | φ ⟩ > 0

Una forma de ver esto es que T ^ es cuadrático en PAG ^ , que es a su vez autoadjunto. Por lo tanto

⟨ φ | T ^ | φ ⟩ = 1 2 metro ⟨ φ | PAG ^ 2 | φ ⟩ = 1 2 metro | | PAG ^ | φ ⟩ | | 2 > 0

Alternativamente, sabemos que T ^ es proporcional al laplaciano − Δ , que es definido positivo (ae), por ejemplo, consulte El operador menos laplaciano es definido positivo .

Con esto, es fácil ver que

mi = ⟨ φ | T ^ + V ^ | φ ⟩ ≥ ⟨ φ | V ^ | φ ⟩ ≥ V 0 ⟨ φ | φ ⟩ = V 0

Lo siento por llegar tarde, pero ¿por qué | | PAG ^ | φ ⟩ | | > 0 mantener ae?
@test123 Porque | | ⋅ | | es una norma, es definida positiva. Es estrictamente positivo a menos que el argumento sea el vector cero.
Gracias por la respuesta, pero esto implicaría PAG ^ | ψ ⟩ ≠ 0 así es PAG ^ es ae inyectivo. ¿Es esto quizás algún teorema del análisis funcional?
@test123 por PAG ^ | ψ ⟩ ≠ 0 ae quiero decir que, para la mayoría de los kets | ψ ⟩ , el ket PAG ^ | ψ ⟩ es distinto de cero. Este no es un teorema profundo, solo la declaración de que la mayoría de las funciones no son constantes.
Siento mucho haberte molestado con esto, pero mi punto es exactamente que no veo por qué. PAG ^ | ψ ⟩ debe ser distinto de cero en casi todas partes. a eso me referia
@ test123 Creo que espera un punto más profundo que el que estoy tratando de hacer. Elige una función aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sea la función constante? La respuesta es cero. ¡La mayoría de las funciones ni siquiera son continuas, y mucho menos constantes!
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