Representación de matrices contables

La respuesta de Luboš Motl tiene una física moralmente correcta, aunque puede ser instructivo hacer una ilustración en términos de las matemáticas básicas en la introducción a la mecánica cuántica. Como ejemplo, tome una partícula sin espín en una dimensión.

Los estados propios de posición en la representación del espacio de posición le permiten construir formalmente cualquier función:

$$f(x) = \int c_{x'} \delta(x-x')\,\mathrm{d}x'\text{,}$$ y tiene una libertad incontable para especificar los coeficientes incontables $c_{x'}$. Sin embargo, la mayor parte de esta libertad es ilusoria, porque la $L^2$producto Interno $$\langle f|g\rangle = \int f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x$$ es incapaz de distinguir funciones cuya diferencia tiene un cuadrado normal que se desvanece: $$||f-g||^2 = \langle f-g|f-g\rangle = 0\text{.}$$ Cualesquiera dos funciones que difieran solo en un conjunto finito o contable servirán, pero esto también es posible incluso para funciones que difieran en un conjunto incontable, siempre que ese conjunto tenga una medida cero.

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, uno puede probar fácilmente que para tal par de funciones, dado cualquier$h\in L^2$,$\langle f-g|h\rangle = 0$. En otras palabras, tal diferencia no puede tener ningún significado físico , ya que ambos predecirán exactamente las mismas probabilidades en cada situación concebible en la mecánica cuántica.

Si uno insiste en las matemáticas, estamos recortando el espacio de funciones al espacio de clases de equivalencia de funciones. En general, solo queremos funciones "suficientemente suaves", pero en realidad la mera continuidad (con muchas excepciones contables como máximo) servirá: una función continua está determinada por sus valores en los racionales, o en cualquier otro conjunto contable que sea denso en los reales.

Sin embargo, hay una razón matemática adicional por la que no debemos esperar una contradicción en primer lugar: fundamentalmente, la "base continua" hecha por Dirac es una bestia diferente de la "base de Schauder" contable que construye vectores como una serie. , y ambos son diferentes de la "base de Hamel" que uno aprende primero en la clase de álgebra lineal que construye vectores a partir de un número finito de elementos de la base. No hay problema en que tengan diferentes cardinalidades per se, porque son cosas muy diferentes.

En particular, la mecánica cuántica requiere que el espacio complejo de Hilbert sea separable , lo que significa que habrá una base de Schauder ortonormal numerable para un espacio de dimensión infinita. Esto es lo que quiere decir el Sr. Motl cuando dice que "todos los espacios infinitamente dimensionales son isomorfos entre sí", porque podemos hacer un isomorfismo isométrico simplemente reasignando los vectores en sus respectivas bases.

En esto, físicamente tiene toda la razón, aunque en matemáticas hay espacios complejos de Hilbert que no son separables.

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Entonces, ¿estos operadores tienen un número incontable de funciones propias que caen en un número contable de clases de equivalencia?

Bueno... no del todo. Digamos que tomas los operadores de posición e impulso. En la representación del espacio de posición, se ven como$\delta(x-a)$y$e^{ipx}$. Obviamente, hay algo matemáticamente extraño en este último en el contexto de nuestro espacio de Hilbert, aunque físicamente es solo una onda plana ordinaria, no es normalizable y, por lo tanto, no puede ser parte del espacio de Hilbert propiamente dicho. Aunque usarlos como base es solo aplicar una transformada de Fourier, por lo que debe tener sentido usarlo. En cuanto a lo primero, como te preocupan las cuestiones matemáticas formales, tienes que creer a los matemáticos cuando te dicen que la delta de Dirac no es estrictamente hablando ni siquiera una función.

Sin embargo , quiero enfatizar que son estados propios perfectamente buenos y que usarlos tiene sentido. Solo tenemos que ser más precisos matemáticamente si queremos desenredar problemas matemáticos formales como las cardinalidades.

Así que echemos un vistazo al agujero del conejo del análisis funcional. Un funcional (n anti-) lineal es un mapeo (n anti-) lineal entre los vectores en el espacio de Hilbert a su campo, aquí los números complejos. Un ejemplo trivial de cualquiera: elija un fijo$v\in\mathcal{H}$. Entonces el mapa$w\mapsto\langle w|v\rangle$es un funcional antilineal y el mapa$w\mapsto\langle v|w\rangle$es un funcional lineal. Otro ejemplo trivial es$\delta[f] = f(0)$, que obviamente es lineal ($\delta[\alpha f+\beta g] = \alpha\delta[f]+\beta\delta[g]$) y da un escalar.

Entonces, todos los vectores en el espacio de Hilbert generan funcionales (anti) lineales. Lo contrario es solo parcialmente cierto: todos los funcionales continuos (anti) lineales corresponden a vectores, por el teorema de representación de Riesz. Entonces, si queremos ser formales, los sujetadores son funcionales lineales sobre nuestro espacio de Hilbert y los kets son funcionales antilineales, y solo algunos de ellos corresponden realmente a un vector en el espacio de Hilbert. Esto se cubre como parte del formalismo del "espacio de Hilbert amañado" que mencioné en los comentarios.

Por lo tanto, no hay ningún problema matemático con tener una base continua incontable y al mismo tiempo tener una base Schauder contable. Tienen el mismo tipo de propósito físico, pero matemáticamente, son simplemente cosas diferentes: la base de Schauder "vive" directamente en el espacio de Hilbert, pero la base continua "vive" en el dual algebraico de nuestro espacio de Hilbert: es un base de estados que no requieren ser vectores, sino simplemente funcionales.

Los infinitos contables e incontables son "cardinales diferentes" según la teoría de conjuntos, pero en física, las bases de ese tamaño producen espacios de Hilbert igualmente grandes: el espacio de Hilbert es de dimensión infinita y todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita son isomorfos entre sí ( en otras palabras, solo hay "un tipo unificado de infinito" cuando se trata de la dimensión de un espacio de Hilbert). La mecánica cuántica te ofrece infinitos ejemplos.

Quizás el ejemplo más simple son las expansiones de Fourier. Considere una partícula en un pozo infinito de modo que la función de onda$\psi(x)$es solo distinto de cero para$0\lt x \lt +\pi$. El operador$x$tiene un espectro continuo, es decir, un número incontable de valores propios y estados propios (la base de$x$-estados propios es incontable).

Por otro lado, el operador$p^2 = -\hbar^2 \partial^2 / \partial x^2$tiene un espectro discreto y un conjunto numerable de valores propios y estados propios. Los autoestados son ondas estacionarias$\sin (nx)$para entero positivo$n$y los valores propios son$n^2$.

Sin embargo, cada ("suficientemente suave" y/o$L^2$-normalizable, etc.) función$\psi(x)$que es distinto de cero en ese intervalo: cada combinación de innumerables funciones de onda$\psi(x) = \delta(x-x_0)$– también puede escribirse como una combinación lineal de las ondas estacionarias,$\sin(nx)$. Este hecho es lo que hace posible la serie de Fourier. (Normalmente, hablaría sobre funciones periódicas y exponenciales complejas, pero los senos en un pozo pueden ser más fáciles de usar para principiantes).

Realmente no hay contradicción con la diferente cardinalidad de los conjuntos porque los dos conjuntos, la base incontable de$x$autoestados y la base contable de$p^2$estados propios, no se identifican a través de un mapa uno a uno. En cambio, el mapa entre una base y la otra es una transformación lineal general que las mezcla, y la diferente cardinalidad no impone restricciones a tales transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión infinita.

En general, los números cardinales (la ciencia sobre la distinción de muchos tipos), así como la mayoría de los otros resultados relacionados en la teoría de conjuntos (me refiero especialmente a los teoremas de Gödel) son completamente intrascendentes en la física. Son solo algunas "sutilezas recreativas" en lógica matemática y la física no encuentra ninguna de estas operaciones relevante. Entonces, un físico puede hacer la teoría de cuerdas más avanzada e interpretarla en todos los rincones de la física sin siquiera "saber" que los números reales son incontables. La incontabilidad no es física. Un físico generalmente es agnóstico sobre la existencia de números reales que no se pueden construir, sobre la validez del axioma de elección y otros problemas que no se pueden resolver operativamente mediante un experimento. La reacción típica de un físico es que estas preguntas son "

Esta pregunta está algo relacionada con la investigación que solía hacer, así que pensé en poner mi granito de arena.

Cuando construye una representación matricial del operador hamiltoniano, debe elegir una base. Por lo general, esta sería una base contable cuyos elementos son integrables al cuadrado. Lo que debe darse cuenta es que cuando haya hecho esto, ha restringido la efectividad de la representación matricial dada.

Como ejemplo concreto, podría pensar en lo que sucede cuando usa las soluciones del oscilador armónico 1-D como base (por ejemplo, polinomios de Hermite por una gaussiana). Sus funciones base serían entonces de la forma,

$$f_n(\xi) = H_n(\xi) e^{-\xi^2/2}.$$

Ahora puede construir elementos de matriz para un hamiltoniano dado de la manera habitual,

$$H_{n,m}=\langle{f_n \mid Hf_m}\rangle,$$

pero estos elementos de la matriz solo codifican lo que el hamiltoniano hará con las funciones que pueden ser representadas por la base elegida. En nuestro caso particular, el lapso de nuestras funciones base solo contiene funciones cuadradas integrables. Esto significa que no podemos usar estos elementos de matriz particulares para entender cómo el hamiltoniano determina la dinámica de los estados de partículas libres (al menos no sin algún tipo de modificación adicional).

Los valores propios que obtenga de este tipo de representaciones matriciales serán solo las energías para los estados ligados. Si intenta diagonalizar la matriz de energía cinética en esta base, obtendrá basura. Con frecuencia, los métodos numéricos basados ​​en este tipo de enfoque tienen problemas cerca del límite de los estados continuos y los estados discretos.