Identidad que involucra doble suma con factoriales

Question

Identidad que involucra doble suma con factoriales

factorial
suma
Matemáticas
pochhammer-símbolo
coeficientes binomiales

marcel

En el curso de un cálculo, me encontré con una identidad complicada, que quiero probar.

Dejar $m>0$ y $0<\ell<m$ ser enteros. Dejar $(x)^{(n)}=x(x+1)\cdots (x+n-1)$ sea el factorial ascendente. Entonces

\sum_{norte = 1}^{metro} \sum_{k = 0}^{norte - 1} (\binom{metro}{norte}) (- 1)^{norte - k} \frac{(norte + metro - k - ℓ - 2)! (k + ℓ)!}{(norte - k - 1)!^{2} k!^{2}} (X - k)^{(norte)} = (- 1)^{metro - ℓ} (X - ℓ)^{(metro)} .

$\sum_{n=1}^m\sum_{k=0}^{n-1}{m \choose n}(-1)^{n-k}\frac{(n+m-k-\ell-2)!(k+\ell)!}{(n-k-1)!^2k!^2}(x-k)^{(n)}=(-1)^{m-\ell}(x-\ell)^{(m)}.$

He intentado escribir todo en términos de poderes de $x$ , pero realmente no me ayudó.

¿Cómo probar esta identidad?

Versión con binomios:

\sum_{norte = 1}^{metro} \sum_{k = 0}^{norte - 1} (- 1)^{norte - k} (\binom{metro}{norte}) (\binom{norte + metro - k - ℓ - 2}{norte - k - 1}) (\binom{k + ℓ}{k}) (\binom{norte - 1}{k}) \frac{(X - k)^{(norte)}}{(norte - 1)!} = (- 1)^{metro - ℓ} (\binom{metro - 1}{ℓ}) \frac{(X - ℓ)^{(metro)}}{(metro - 1)!} .

$\sum_{n=1}^m\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}{m \choose n}{n+m-k-\ell-2 \choose n-k-1}{k+\ell\choose k}{n-1\choose k}\frac{(x-k)^{(n)}}{(n-1)!}=(-1)^{m-\ell}{m-1\choose \ell}\frac{(x-\ell)^{(m)}}{(m-1)!}.$

O, definiendo

F_{norte, k} (X) = (- 1)^{norte - k} (\binom{norte - 1}{k}) \frac{(X - k)^{(norte)}}{(norte - 1)!},

$F_{n,k}(x)=(-1)^{n-k}{n-1\choose k}\frac{(x-k)^{(n)}}{(n-1)!},$ podemos escribir

\sum_{norte = 1}^{metro} \sum_{k = 0}^{norte - 1} (\binom{metro}{norte}) (\binom{norte + metro - k - ℓ - 2}{norte - k - 1}) (\binom{k + ℓ}{k}) F_{norte, k} (X) = F_{metro, ℓ} (X) .

$\sum_{n=1}^m\sum_{k=0}^{n-1}{m \choose n}{n+m-k-\ell-2 \choose n-k-1}{k+\ell\choose k}F_{n,k}(x)=F_{m,\ell}(x).$

Juan María

¿No es su expresión susceptible a una especie de

n

$n$ la diferencia dividida

Δ^{(p)} f (x)

$\Delta^{(p)}f(x)$ como en esta solución reciente ?

2 es par primo

Bueno, allí se ve una función beta, así que intente convertirla en notación integral. Estoy seguro de que eso dará algo.

Respuestas (1)

Identidad que involucra doble suma con factoriales

¿No es su expresión susceptible a una especie de $n$ la diferencia dividida $\Delta^{(p)}f(x)$ como en esta solución reciente ?
Bueno, allí se ve una función beta, así que intente convertirla en notación integral. Estoy seguro de que eso dará algo.

Marko Riedel · Answer 1

Reescribiendo ligeramente encontramos

\sum_{norte = 1}^{metro} (\binom{metro}{norte}) norte \sum_{k = 0}^{norte - 1} (- 1)^{norte - k} (\binom{norte + metro - k - ℓ - 2}{norte - k - 1}) (\binom{k + ℓ}{ℓ}) (\binom{norte - 1}{k}) (\binom{X - k + norte - 1}{norte}) = metro (- 1)^{metro - ℓ} (\binom{metro - 1}{ℓ}) (\binom{X - ℓ + metro - 1}{metro}) .

$\sum_{n=1}^m {m\choose n} n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k} {n+m-k-\ell-2\choose n-k-1} {k+\ell\choose \ell} {n-1\choose k} {x-k+n-1\choose n} = m (-1)^{m-\ell} {m-1\choose \ell} {x-\ell + m-1\choose m}.$

Podemos tratar esto como polinomios en $x$ y tómelo como un entero positivo. Luego se generaliza a complejo $x.$ Trabajando con la suma interna encontramos

[z^{norte - 1}] (1 + z)^{norte + metro - ℓ - 2} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} [v^{norte}] (1 + v)^{X + norte - 1} \times \sum_{k = 0}^{norte - 1} (- 1)^{norte - k} (\binom{norte - 1}{k}) \frac{z^{k}}{(1 + z)^{k}} (1 + w)^{k} (1 + v)^{- k} = (- 1)^{norte} [z^{norte - 1}] (1 + z)^{norte + metro - ℓ - 2} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} [v^{norte}] (1 + v)^{X + norte - 1} \times {[1 - \frac{z (1 + w)}{(1 + z) (1 + v)}]}^{norte - 1} = (- 1)^{norte} [z^{norte - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} [v^{norte}] (1 + v)^{X} (1 + v + v z - w z)^{norte - 1} .

$[z^{n-1}] (1+z)^{n+m-\ell-2} [w^\ell] (1+w)^\ell [v^n] (1+v)^{x+n-1} \\ \times \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k} {n-1\choose k} \frac{z^k}{(1+z)^k} (1+w)^k (1+v)^{-k} \\ = (-1)^n [z^{n-1}] (1+z)^{n+m-\ell-2} [w^\ell] (1+w)^\ell [v^n] (1+v)^{x+n-1} \\ \times \left[ 1-\frac{z(1+w)}{(1+z)(1+v)}\right]^{n-1} \\ = (-1)^n [z^{n-1}] (1+z)^{m-\ell-1} [w^\ell] (1+w)^\ell [v^n] (1+v)^{x} (1+v+vz-wz)^{n-1}.$

Usando $q$ como la variable de índice que obtenemos para la suma externa

metro \sum_{q = 1}^{metro} (\binom{metro - 1}{q - 1}) (- 1)^{q} [z^{q - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} \times [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} [v^{q}] (1 + v)^{X} (1 + v + v z - w z)^{q - 1} = metro \sum_{q = 0}^{metro - 1} (\binom{metro - 1}{q}) (- 1)^{metro - q} [z^{metro - 1}] z^{q} (1 + z)^{metro - ℓ - 1} \times [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} [v^{metro}] v^{q} (1 + v)^{X} (1 + v + v z - w z)^{metro - q - 1} = metro [z^{metro - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} [v^{metro}] (1 + v)^{X} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} \times \sum_{q = 0}^{metro - 1} (\binom{metro - 1}{q}) (- 1)^{metro - q} z^{q} v^{q} (1 + v + v z - w z)^{metro - q - 1} = - metro [z^{metro - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} [v^{metro}] (1 + v)^{X} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} (w z - 1 - v)^{metro - 1} .

$m \sum_{q=1}^m {m-1\choose q-1} (-1)^q [z^{q-1}] (1+z)^{m-\ell-1} \\ \times [w^\ell] (1+w)^\ell [v^q] (1+v)^{x} (1+v+vz-wz)^{q-1} \\ = m \sum_{q=0}^{m-1} {m-1\choose q} (-1)^{m-q} [z^{m-1}] z^q (1+z)^{m-\ell-1} \\ \times [w^\ell] (1+w)^\ell [v^m] v^q (1+v)^{x} (1+v+vz-wz)^{m-q-1} \\ = m [z^{m-1}] (1+z)^{m-\ell-1} [v^m] (1+v)^{x} [w^\ell] (1+w)^\ell \\ \times \sum_{q=0}^{m-1} {m-1\choose q} (-1)^{m-q} z^q v^q (1+v+vz-wz)^{m-q-1} \\ = - m [z^{m-1}] (1+z)^{m-\ell-1} [v^m] (1+v)^{x} [w^\ell] (1+w)^\ell (wz-1-v)^{m-1}.$

Expandiendo el último término potenciado obtenemos

- metro [z^{metro - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} [v^{metro}] (1 + v)^{X} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} \times \sum_{pag = 0}^{metro - 1} (\binom{metro - 1}{pag}) w^{pag} z^{pag} (- 1)^{metro - 1 - pag} (1 + v)^{metro - 1 - pag} .

$- m [z^{m-1}] (1+z)^{m-\ell-1} [v^m] (1+v)^{x} [w^\ell] (1+w)^\ell \\ \times \sum_{p=0}^{m-1} {m-1\choose p} w^p z^p (-1)^{m-1-p} (1+v)^{m-1-p}.$

Para el extractor de coeficientes en $z$ para devolver un valor distinto de cero debemos tener $m-1-p \le m-\ell-1$ (nota que con $0\lt \ell\lt m$ el término $(1+z)^{m-\ell-1}$ es finito). esto dice que $\ell \le p.$ Por otro lado el extractor de coeficientes en $w$ requiere $p\le \ell$ (el término $(1+w)^\ell$ es finito también y usamos la definición de residuo ${\ell\choose \ell-p} = \; \underset{w}{\mathrm{res}}\; \frac{1}{w^{\ell-p+1}} (1+w)^\ell.$ ) El único $p$ cumplir ambas condiciones es $p=\ell$ y encontramos

- metro [z^{metro - 1}] (1 + z)^{metro - ℓ - 1} [v^{metro}] (1 + v)^{X} [w^{ℓ}] (1 + w)^{ℓ} \times (\binom{metro - 1}{ℓ}) w^{ℓ} z^{ℓ} (- 1)^{metro - 1 - ℓ} (1 + v)^{metro - 1 - ℓ} = - metro (\binom{metro - ℓ - 1}{metro - ℓ - 1}) (\binom{X + metro - 1 - ℓ}{metro}) (\binom{ℓ}{ℓ - ℓ}) (- 1)^{metro - 1 - ℓ} (\binom{metro - 1}{ℓ}) .

$- m [z^{m-1}] (1+z)^{m-\ell-1} [v^m] (1+v)^{x} [w^\ell] (1+w)^\ell \\ \times {m-1\choose \ell} w^\ell z^\ell (-1)^{m-1-\ell} (1+v)^{m-1-\ell} \\ = -m {m-\ell-1\choose m-\ell-1} {x+m-1-\ell\choose m} {\ell\choose \ell-\ell} (-1)^{m-1-\ell} {m-1\choose \ell}.$

Esto finalmente se simplifica a

metro (- 1)^{metro - ℓ} (\binom{metro - 1}{ℓ}) (\binom{X - ℓ + metro - 1}{metro})

$m (-1)^{m-\ell} {m-1\choose \ell} {x-\ell+m-1\choose m}$

cual es el reclamo.

Identidad que involucra doble suma con factoriales

marcel

Juan María

2 es par primo

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Marko Riedel

epi163sqrt

Marko Riedel

Sobre la regla generalizada de Leibniz

Identidad del coeficiente binomial de prueba: ∑nk=0kk!nk(nk)=n∑k=0nkk!nk(nk)=n\sum_{k=0}^n\frac{kk!}{n^k}\binom{ n}{k}=n

Multiplicar tres factoriales con tres binomios en identidad polinomial

Simplificando la suma con factoriales ascendentes y descendentes

Identidad que involucra doble suma con binomios

Prueba de Identidad del Coeficiente Binomial Alterno

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]