Identidad que involucra doble suma con binomios

Question

Identidad que involucra doble suma con binomios

factorial
suma
asintóticos
Matemáticas
coeficientes binomiales

marcel

( Editar : esta pregunta ahora ha sido respondida en MathOverflow, aquí )

En el curso de un cálculo, me encontré con la siguiente identidad complicada. Dejar $A$ y $a$ ser enteros positivos. Entonces creo que

\sum_{B \geq A, b \geq a} (- 1)^{a + b} (\binom{b}{a}) (\binom{B - 1}{A - 1}) \frac{(B - 1)! b!}{(B + b) (X - b)^{(B + b)}} = \frac{(A - 1)! a!}{(A + a) (X - A + 1)^{(A + a)}},

$\sum_{B\ge A,b\ge a} (-1)^{a+b}{b\choose a} {B-1\choose A-1}\frac{(B-1)!b!}{(B+b)(x-b)^{(B+b)}}=\frac{(A-1)!a!}{(A+a)(x-A+1)^{(A+a)}},$ dónde

x

$x$ es alguna variable y

(x)^{(a)} = x (x + 1) \dots (x + a - 1)

$(x)^{(a)}=x(x+1)\cdots(x+a-1)$ es el factorial ascendente.

Esto es lo que me gustaría probar. Es como una generalización de la identidad.

\sum_{a = 0}^{\infty} \frac{1}{X^{a}} = \frac{X}{X - 1} .

$\sum_{a=0}^\infty \frac{1}{x^a}=\frac{x}{x-1}.$

Observe una especie de milagro: el lado izquierdo en principio tiene polos en todos los valores enteros de $x$ , mientras que el lado derecho solo tiene polos en los enteros menores que $A-1$ .

Siguiendo la crítica en la respuesta de Paul Sinclair, creo que el significado de la igualdad es un poco confuso. tengo en mente un gran $x$ expansión. toma el caso $A=a=1$ , Por ejemplo. si sumo $B$ y $b$ tanto del 1 al 2 me sale

\frac{1}{2} \frac{X^{2} - 3 X - 8}{X (X - 2) (X^{2} - 1)}

$\frac{1}{2}\frac{x^2-3x-8}{x(x-2)(x^2-1)}$ para el lado izquierdo, que es

\frac{1}{2 X^{2}} - \frac{1}{2 X^{3}} + O (\frac{1}{X^{4}})

$\frac{1}{2x^2}- \frac{1}{2x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$ para grande

x

$x$ . si sumo

B

$B$ y

b

$b$ hasta valores más grandes, más términos en el gran

x

$x$ expansión del lado izquierdo de acuerdo con

\frac{1}{2 X^{2}} - \frac{1}{2 X^{3}} + \frac{1}{2 X^{4}} - \frac{1}{2 X^{5}} + \dots,

$\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2x^3}+\frac{1}{2x^4}-\frac{1}{2x^5}+\cdots,$ cual es el grande

x

$x$ series de

\frac{1}{2 x (x + 1)}

$\frac{1}{2x(x+1)}$ , el lado derecho.

(Creo que la doble suma en el lado izquierdo es convergente solo para lo suficientemente grande $x$ , y es en este régimen que coincide con la derecha. Así que encontrar diferentes residuos en $x=0$ no invalida la identidad).

marcel

@RobPratt Lo siento, es el

(A + a)

$(A+a)$ en el rhs que no debe ser factorial

Pablo Sinclair

Lo siento, pero tu nuevo párrafo no tiene ningún sentido. La igualdad significa que los dos lados dan el mismo resultado para cada elección de valores para las variables libres (

A, a, x

$A, a, x$ ) en sus dominios especificados. No existe una "serie de Taylor" frente a una "serie grande".

x

$x$ calificación de "expansión". Las series de Taylor tampoco tienen nada que ver con mi análisis de la

A = a = 1

$A=a=1$ caso. Tampoco veo cómo el LHS, que directamente tiene términos con denominadores de

(x - b) (x - b + 1) . . .

$(x-b)(x-b+1) ...$ de alguna manera se convierte en términos con denominadores que son potencias de

x

$x$ solo.

marcel

@PaulSinclair He agregado más detalles a la pregunta. Creo que lo que estoy preguntando tiene sentido.

Respuestas (1)

Identidad que involucra doble suma con binomios

@RobPratt Lo siento, es el $(A+a)$ en el rhs que no debe ser factorial
Lo siento, pero tu nuevo párrafo no tiene ningún sentido. La igualdad significa que los dos lados dan el mismo resultado para cada elección de valores para las variables libres ( $A, a, x$ ) en sus dominios especificados. No existe una "serie de Taylor" frente a una "serie grande". $x$ calificación de "expansión". Las series de Taylor tampoco tienen nada que ver con mi análisis de la $A=a=1$ caso. Tampoco veo cómo el LHS, que directamente tiene términos con denominadores de $(x-b)(x-b+1) ...$ de alguna manera se convierte en términos con denominadores que son potencias de $x$ solo.
@PaulSinclair He agregado más detalles a la pregunta. Creo que lo que estoy preguntando tiene sentido.

Pablo Sinclair · Answer 1

En el caso $A = 1, a = 1$ , y dejando $n = B + b -1$ , esto se reduce a

- \sum_{norte = 1}^{\infty} \sum_{b = 1}^{norte} (- 1)^{b} b \frac{(norte - b)! b!}{(norte + 1) (X - b)^{(norte + 1)}} = \frac{1}{2 X (X + 1)}

$-\sum_{n=1}^\infty\sum_{b=1}^n (-1)^bb\dfrac{(n-b)!b!}{(n+1)(x-b)^{(n+1)}} = \dfrac 1{2x(x+1)}$

Pero eso no puede ser. El residuo en $0$ se puede encontrar multiplicando ambos lados por $x$ y tomando el límite como $x \to 0$ . El lado derecho da fácilmente $1$ . La mano izquierda es un poco más difícil. $x-b \to -b$ y desde $b \le n$

(X - b)^{(norte + 1)} = (X - b) (X - b + 1) \dots (X - 1) X (X + 1) \dots (X + norte - b)

$(x-b)^{(n+1)} = (x-b)(x-b+1)\cdots(x-1)x(x+1)\cdots(x+n-b)$ Entonces

\underset{X \to 0}{límite} \frac{1}{X} (X - b)^{(norte + 1)} = (- b) (- b + 1) \dots (- 1) (1) \dots (norte - b) = (- 1)^{b} b! (norte - b)!

$\lim_{x\to 0} \frac 1x (x-b)^{(n+1)} = (-b)(-b+1)\cdots(-1)(1)\cdots(n-b) = (-1)^bb!(n-b)!$

Lo que significa que el lado izquierdo se reduce a

- \sum_{norte = 1}^{\infty} \sum_{b = 1}^{norte} \frac{b}{norte + 1} = - \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{norte}{2} = - \infty

$-\sum_{n=1}^\infty\sum_{b=1}^n \frac{b}{n+1}= -\sum_{n=1}^\infty\frac n2=-\infty$

Me parece claro que incluso si $x$ solo esta cerca $0$ , esta serie todavía va a divergir. Por lo tanto, no puede ser igual al lado derecho mucho mejor comportado.

O cometió un error en sus cálculos que lo llevaron a esta conclusión, o bien extrajo esta "igualdad" particular como la causa de que su cálculo más grande sea verdadero.

Lo siento, olvidé aclarar que por $(x)^{(a)}$ Me refiero al factorial ascendente, $x(x+1)\cdots(x+a-1)$ .
Modifiqué el argumento para hacer la notación correcta, pero el ejemplo aún se mantiene. al menos cuando $A = a = 1$ , esto es falso.
Su punto es válido, vea mi nueva edición de la pregunta con respecto a su ejemplo

Identidad que involucra doble suma con binomios

marcel

marcel

Pablo Sinclair

marcel

Respuestas (1)

Pablo Sinclair

marcel

Pablo Sinclair

marcel

Sobre la regla generalizada de Leibniz

Identidad del coeficiente binomial de prueba: ∑nk=0kk!nk(nk)=n∑k=0nkk!nk(nk)=n\sum_{k=0}^n\frac{kk!}{n^k}\binom{ n}{k}=n

Multiplicar tres factoriales con tres binomios en identidad polinomial

Simplificando la suma con factoriales ascendentes y descendentes

Convergencia de la sucesión (an––n!zn)(an_n!zn)\big(\frac{a^{\underline{n}}}{n!} z^n \big)

Identidad que involucra doble suma con factoriales

Prueba de Identidad del Coeficiente Binomial Alterno

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Límite superior de una expresión elevada a la n-ésima potencia