Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

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Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

productos
suma
Matemáticas
combinatoria
coeficientes binomiales

cbowman

Tengo un producto complicado que estoy tratando de expandir en un resumen y no estoy seguro de cómo seguir adelante.

Tengo dos conjuntos de números, cada uno contiene $n$ elementos totales. El primer conjunto, $\{x_k\}$ son reales y positivos:

X_{k} \in R, X_{k} > 0 \forall k

$x_k \in \mathbb{R}, \; x_k > 0 \; \forall \; k$ El segundo conjunto,

{y_{k}}

$\{y_k\}$ , son todos naturales:

y_{k} \in norte \forall k

$y_k \in \mathbb{N} \; \forall \; k$ La expresión que estoy tratando de expandir es un producto de diferentes expansiones binomiales:

F (C) = \prod_{k = 1}^{norte} (C X_{k} + 1)^{y_{k}} = \prod_{k = 1}^{norte} (\sum_{metro = 0}^{y_{k}} (\binom{y_{k}}{metro}) C^{metro} X_{k}^{metro})

$f(c) = \prod_{k=1}^{n} (c x_k +1)^{y_k} = \prod_{k=1}^{n} \left( \sum_{m=0}^{y_k} \binom{y_k}{m}c^{m} x_{k}^{m} \right)$ dónde

c > 0

$c>0$ .

Cuando está completamente expandido, solo podemos agrupar por potencias de $c$ , que debe oscilar entre cero y $\sum_{k}^{n} y_k$ . Alquiler

Y = \sum_{k = 1}^{norte} y_{k}

$Y = \sum_{k=1}^{n} y_k$ deberíamos ser capaces de expresar

f (c)

$f(c)$ como

F (C) = \sum_{metro = 0}^{Y} α_{metro} C^{β_{metro}}

$f(c) = \sum_{m=0}^{Y} \alpha_m c^{\beta_m}$

Ahora estoy atascado sobre cómo calcular los coeficientes. $\alpha_m$ y exponentes $\beta_m$ .

¿Alguien tiene algún consejo?

¡Gracias!

Respuestas (1)

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Shagnik · Answer 1

Usando el mismo índice de suma $m$ en todas las sumas puede ser un poco confuso, ya que estos índices diferentes pueden tomar valores diferentes en el producto. Por lo tanto, podría ser mejor poner subíndices en esos índices, por lo que tendríamos

F (C) = \prod_{k = 1}^{norte} (\sum_{{metro}_{k} = 0}^{y_{k}} (\binom{y_{k}}{{metro}_{k}}) C^{{metro}_{k}} X_{k}^{{metro}_{k}}) .

$f(c) = \prod_{k=1}^n \left( \sum_{m_k = 0}^{y_k} \binom{y_k}{m_k} c^{m_k} x_k^{m_k} \right).$

Cuando intercambiamos la suma y el producto, la suma ahora será sobre todas las opciones posibles de los índices. $m_k$ . Por lo tanto, será una suma sobre los vectores. $\vec{m} = (m_1, m_2, ..., m_k)$ , donde cada $m_k$ satisface $0 \le m_k \le y_k$ . Por lo tanto, tenemos

F (C) = \sum_{\vec{metro} \in Λ} \prod_{k = 1}^{norte} ((\binom{y_{k}}{{metro}_{k}}) C^{{metro}_{k}} X_{k}^{{metro}_{k}}),

$f(c) = \sum_{\vec{m} \in \Lambda} \prod_{k=1}^n \left( \binom{y_k}{m_k} c^{m_k} x_k^{m_k} \right),$ dónde

Λ = Z^{n} \cap \prod_{k = 1}^{n} [0, y_{k}]

$\Lambda = \mathbb{Z}^n \cap \prod_{k=1}^n [0, y_k]$ .

Ahora podemos recopilar los factores de $c$ , y obtendríamos

F (C) = \sum_{\vec{metro} \in Λ} C^{\sum_{k = 1}^{norte} {metro}_{k}} \prod_{k = 1}^{norte} ((\binom{y_{k}}{{metro}_{k}}) X_{k}^{{metro}_{k}}) .

$f(c) = \sum_{\vec{m} \in \Lambda} c^{\sum_{k=1}^n m_k} \prod_{k=1}^n \left( \binom{y_k}{m_k} x_k^{m_k} \right).$

Ahora diferentes vectores $\vec{m} \in \Lambda$ podría resultar en el mismo poder $p = \sum_{k=1}^n m_k$ de $c$ . Si lo desea, puede agruparlos; dejar $\Lambda_p = \left\{ \vec{m} \in \Lambda: \sum_{k=1}^n m_k = p \right\}$ . Como usted señaló, las potencias posibles son los números enteros entre $0$ y $Y = \sum_{k=1}^n y_k$ . Entonces tendríamos

F (C) = \sum_{pag = 0}^{Y} α_{pag} C^{pag},

$f(c) = \sum_{p = 0}^Y \alpha_p c^p,$ donde los coeficientes

α_{p}

$\alpha_p$ se obtienen reuniendo los términos de

Λ_{p}

$\Lambda_p$ :

α_{pag} = \sum_{\vec{metro} \in Λ_{pag}} \prod_{k = 1}^{norte} (\binom{y_{k}}{{metro}_{k}}) X_{k}^{{metro}_{k}} .

$\alpha_p = \sum_{\vec{m} \in \Lambda_p} \prod_{k=1}^n \binom{y_k}{m_k} x_k^{m_k}.$

¡Esto se ve genial, gracias! Lo revisaré una vez que esté fuera del trabajo para asegurarme de que lo entiendo y lo acepto.
Así que creo que entiendo - $\Lambda$ es el conjunto de todos los posibles $n$ -longitud vectores donde el $k$ 'th elemento es un número entero en el rango $[0,y_k]$ ? Ahora me sorprende lo masivo de un conjunto $\Lambda$ es probable que sea - para mis propósitos $n>100$ y $y_k > 20$ en la mayoría de los casos. Si la cardinalidad es $\prod_{k=1}^{n} y_k + 1$ , incluso si tomamos $y_k = 9 \; \forall \; k$ y $n = 100$ obtenemos $|\Lambda| = 10^{100}$ . ¡Lamentablemente no computaré esa lista en el corto plazo!
@CBowman Jaja sí, desafortunadamente hay una gran cantidad de sumandos en juego si $n > 100$ .

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cbowman

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Shagnik

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Shagnik

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Muestra la identidad: ∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i=1n(x2−i2)∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i= 1n(x2−i2)\prod^{2n+1}\limits_{i=1}(x+n+1-i) = x\prod^{n}\limits_{i=1}(x^2- yo ^ 2)

Formulación de una suma alterna de combinaciones de productos

Prueba combinatoria de ∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+m−im)(ni)∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+ m−im)(ni) \sum \limits_{i = 0} ^{m} 2^{ni} {n \choose i}{m \choose i} = \sum\limits_{i=0}^m { n + m - yo \elegir m} {n \elegir i}

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n

Suma parcial de coeficientes binomiales n elige k multiplicado por k para k de n/2+1 a n

Multiplicar tres factoriales con tres binomios en identidad polinomial

Demostrar que C(n,0)+C(n+1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0)+C(n +1,1)+⋯+C(n+r,r)=C(n+r+1,r).C(n,0) + C(n+1,1) +\dots+ C(n+ r,r) = C(n+r+1,r). [duplicar]