Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Question

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

suma
Matemáticas
combinatoria
pruebas combinatorias
coeficientes binomiales

corporación y ltd.

Utilice un argumento combinatorio para demostrar que: $3^n =$ $\sum_{k=0}^n{n \choose k}2^k.$

He visto la prueba matemática de esto usando la identidad de Pascal; y estoy tratando de encontrar una prueba/analogía combinatoria para imitar una situación del mundo real.

En lo que respecta a LHS, se me ocurrió esta analogía:

Suponga que su trabajo es repartir dulces gratis.

El primer día, le das dulces a tres niños. Al día siguiente, cada uno trae a dos de sus amigos. En el día $n$ , te das $3^n$ dulces.

¿Alguien puede proporcionar una buena analogía para el RHS de modo que LHS = RHS sea evidente?

Respuestas (1)

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Brian M Scott · Answer 1

SUGERENCIA: le resultará difícil hacer que funcione con la historia que ha elegido. Prueba esto en su lugar. Tienes $n$ dulces, todos de diferentes sabores, y quiere saber de cuántas maneras diferentes puede repartirlos a tres niños, Vanessa, Sunny y Melissa. Claramente la respuesta es $3^n$ . Ahora suponga que decide dividir $k$ del $n$ caramelos entre Vanessa y Sunny y darle el resto a Melissa; ¿De cuántas maneras diferentes puedes hacer eso?

Entonces $2^k$ representaría el número de funciones posibles de k a Vanessa y Sunny, mientras que el resto va automáticamente a Melissa?

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

corporación y ltd.

Respuestas (1)

Brian M Scott

corporación y ltd.

Brian M Scott

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n

Verificación de la solución: Demuestre que ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an− i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} para n ≥1n≥1n\geq 1

Prueba combinatoria de ∑k=0n(nk)3k=4n∑k=0n(nk)3k=4n\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k}3^k=4^n

Interpretación combinatoria para la identidad ∑i(mi)(nj−i)=(m+nj)∑i(mi)(nj−i)=(m+nj)\sum\limits_i\binom{m}{i}\ binom{n}{ji}=\binom{m+n}{j}?

Demuestra que para r,n∈Nr,n∈Nr,n \in \mathbb{N} con r≥nr≥nr \geq n, ∑n−1i=0(−1)i(ni)(r+n− i−1r)=(r−1n−1)∑i=0n−1(−1)i(ni)(r+n−i−1r)=(r−1n−1)\sum_{i=0} ^{n-1} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{r+ni-1}{r} = \binom{r-1}{n-1}

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Prueba combinatoria sobre factoriales decrecientes y sumas de factoriales decrecientes

Prueba combinatoria para series de números de Stirling y coeficientes binomiales