Forma canónica de constantes de estructura y tríada mutuamente ortogonal sobre las órbitas de las cosmologías de Bianchi

En primer lugar, necesitamos encontrar cómo la matriz$n^{ij}$transforma bajo las transformaciones lineales consideradas. Para este propósito, tenga en cuenta que podemos construir la descomposición (2) en el OP considerando (siguiendo la convención que usaron los autores)

$$C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{jk\ell}, \tag{4}$$ que obedece $\epsilon_{jmn}C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{k\ell}_{mn} = C^i{}_{[mn]} = C^i{}_{mn}$. luego nos separamos $C^{ij} = C^{(ij)} + C^{[ij]}$y tomar $$\begin{align}\begin{split} C^{(ij)} &\equiv n^{ij}, \\ C^{[ij]} &\equiv -\epsilon^{ijk}a_k, \end{split}\tag{5}\end{align}$$ definir $n^{ij}$y $a_k$. Aquí usamos el hecho de que es un álgebra de tres parámetros, por lo que la parte antisimétrica y el vector tienen el mismo número de componentes independientes. En otras palabras $$\begin{align}\begin{split} n^{ij} &= C^{(i}{}_{k\ell}\epsilon^{j)k\ell}, \\ a_k &= -C^i{}_{ki}. \end{split}\tag{5.1}\end{align}$$ Procediendo vamos a dejar $a,b,c$denota índices transformados: $\xi_a = \gamma_a^j\xi_j$. también usaremos $\gamma_i^a$para denotar el inverso de $\gamma^i_a$, dejando que los índices nos informen de qué transformación estamos tratando. De (5.1) es obvio que $a_c = \gamma_c^ja_j$, pero la transformación de $n^{ij}$es un poco más complicado: $$\begin{align} n^{cd} &= C^k{}_{ij}\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab} \\ &= \left(2\delta^k_{[i}a_{j]} + \epsilon_{ij\ell}n^{\ell k}\right)\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab}. \tag{6} \end{align}$$ Un cálculo directo verifica que el primer término en (6) desaparece y tenemos $$\begin{align} n^{cd} &= \epsilon^{ab(d}_{ij\ell}\gamma^{c)}_k\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \epsilon^{abe}_{ij\ell}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_k\gamma^m_e\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \epsilon_{ij\ell}^{ijm}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^{(d}_\ell\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^d_\ell\gamma^c_kn^{\ell k}.\tag{6.1} \end{align}$$ Así, además del factor $\det(\gamma)$hemos encontrado que $n^{ij}$transforma como sugieren sus índices. Nótese que aunque la simetrización desaparece en (6.1) es precisamente la simetrización la que mata al primer término en (6). Por supuesto, la transformación de $q_{ij}$se sigue trivialmente de la definición: $$q_{ab} = \gamma^i_a\gamma^j_bq_{ij}.\tag{6.2}$$

Ahora tenga en cuenta que si escribimos nuestras cantidades como$3\times 3$matrices podemos expresar (6.1) y (6.2) como

$$\begin{align}\tag{6.3} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^T, & \widetilde{n} &= \det(\gamma) \left(\gamma^{-1}\right)^T n \gamma^{-1}, \end{align}$$ Bajo transformaciones ortogonales podemos reescribir (6.3) como $$\begin{align}\tag{6.4} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^{-1}, & \widetilde{n} &= \det(\gamma)\gamma n \gamma^{-1}, \end{align}$$ que, aparte del factor $\det(\gamma)$es idéntica a la transformación mutua de dos operadores lineales. Ya que ambos $q_{ij}$y $n^{ij}$son simétricos están diagonalizados por transformaciones ortogonales, por lo que podemos decir con confianza que $q$y $n$son mutuamente diagonalizables si y solo si hay una transformación lineal que las lleva a conmutar como matrices. Técnicamente estamos usando el hecho trivial de que $n^{ab}$es diagonal si y solo si $\det(\gamma)^{-1}n^{ab}$es.

El truco es entonces recordar que aunque$q_{ij}$y$n^{ij}$transforman como matrices bajo transformaciones ortogonales, en general no lo hacen. En particular, las transformaciones diagonales nos permiten reescalar los valores propios. Más precisamente, podemos suponer, sin restricción, que$q_{ij}$ha sido diagonalizado. Entonces, los componentes del conmutador vienen dados por

$$\begin{align} q_{1i}n^{i2} - n^{1i}q_{i2} &= (q_{11} - q_{22})n^{12}, \\ q_{1i}n^{i3} - n^{1i}q_{i3} &= (q_{11} - q_{33})n^{13}, \\ q_{2i}n^{i3} - n^{2i}q_{i3} &= (q_{22} - q_{33})n^{23}, \end{align}$$ y bajo una transformación diagonal adecuada (como una normalización) podemos adquirir $q_{11} = q_{22} = q_{33}$, haciendo así desaparecer el conmutador. Como se señaló anteriormente, entonces podemos diagonalizar $n^{ij}$sin alterar la ortogonalización, y dado que una transformación ortogonal no altera los valores propios, todos los valores propios de $q_{ij}$Son identicos. Por lo tanto, podemos elegir $a = (a,0,0)$sin restricción. Entonces somos libres de normalizar $n^{ij}$, y si es posible $a$(por (6.1) podemos normalizar $a$si y solo si cualquiera $n^{22} = 0$, $n^{33}=0$, o ambos), aunque podemos destruir la normalización de nuestra tríada en el proceso (como también señalan los autores del artículo).