¿Existe una clasificación simple de espacios máximamente simétricos?

Es cierto que solo hay tres (clases) de geometrías de máxima simetría , clasificadas por su curvatura. Pero hay más espaciotiempos que ese. Si elige uno de los tres espacios máximamente simétricos$(\mathbb R^n, \eta)$(espacio de Minkowski),$(\mathbb R \times S^{n-1}, d)$(espacio de Sitter) y$(\mathbb R^n, a)$(espacio anti-de Sitter), luego considere cualquier subgrupo$\Gamma$del grupo de simetría que actúa sobre esos espaciotiempos de manera suave, libre y adecuada, entonces el espaciotiempo$M / \Gamma$es también un espacio-tiempo máximamente simétrico.

Hay muchos espacio-tiempos de este tipo. Existe una larga lista de ellos para el espacio de Minkowski: el cilindro temporal y el cilindro espacial, ambos con topología$\mathbb R^n / \mathbb Z$, el toro espacio-tiempo$\mathbb R^n / \mathbb Z^n$, el espacio-tiempo de la botella de Klein, el espacio de Misner, los espacio-tiempos de la tira de Moebius, el cilindro no orientable en el tiempo$(\mathbb R^n / \mathbb Z) / (I \times T)$Etcétera.

También existen muchas variaciones del espacio anti-de Sitter (en realidad, lo que se conoce clásicamente como AdS no es lo que te dije, sino uno de esos cocientes). El AdS clásico tiene topología$\mathbb R^{n-1} \times S^1$. Hay variantes de AdS que no logran ser causales, orientables, orientables en el tiempo, etc.

Lo mismo con el espacio de De Sitter, que incluye entre sus famosas topologías los universos poliédricos, usando uno del grupo de rotación discreta.

Editar: como señala AVS, esos espacios no son máximamente simétricos, sino solo localmente máximamente simétricos (no son rotacionalmente invariantes en toda la variedad). La clasificación completa de los espaciotiempos de curvaturas constantes se encuentra en Wolf (capítulo 11), y es la siguiente:

Todas las variedades pseudo-Riemannianas conectadas isotrópicas homogéneas (de firma$(1, n-1)$) se clasifican así:

• Si el colector es plano, entonces$M$es isometrico a$\mathbb{R}^{1, n-1}$(teorema 11.6.8).
• Si la variedad es de curvatura constante$K > 0$, entonces es una portada de$S^{1, n-1} / \{ \pm I\} = \mathbb{R}^1 \times S^{n-1} / \{ \pm I\}$(teorema 11.6.7)
• Si la variedad es de curvatura constante$K < 0$, entonces es una portada de$\mathbb{H}^{1, n-1} / \{ \pm I\} = S^1 \times \mathbb{R}^{n-1} / \{ \pm I\}$(teorema 11.6.7)

Corresponden al espacio de Minkowski, cocientes del espacio-tiempo de De Sitter (esto incluye espacios como el propio espacio-tiempo de De Sitter, así como los espacios elípticos de De Sitter) y cocientes (y coberturas) del espacio anti-de Sitter.

Si desea incluir variedades de Riemann, entonces la clasificación es la siguiente. Por el teorema 8.12.2, todas las variedades de Riemann homogéneas de dos puntos (equivalentes a homogéneas e isotrópicas) son isométricas a uno de estos:

• espacio euclidiano$\mathbb{R}^n = \mathrm{E}^n / \mathrm{O}(n)$
• El$n$-esfera$S^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{SO}(n)$
• El espacio proyectivo real$\mathbb{R}\mathrm{P}^n = \mathrm{SO}(n + 1) / \mathrm{O}(n)$
• El espacio proyectivo complejo$\mathbb{C}\mathrm{P}^n = \mathrm{SU}(n + 1) / \mathrm{U}(n)$
• El espacio proyectivo cuaterniónico$\mathbb{H}\mathrm{P}^n = \mathrm{Sp}(n + 1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• El plano proyectivo de Cayley$\mathrm{CayP}^2 = \mathrm{F}_4 / \mathrm{Spin}(9)$
• El verdadero espacio hiperbólico$\mathbb{H}^n(\mathbb{R}) = \mathrm{SO}(1, n-1) / \mathrm{SO}(n)$
• El espacio hiperbólico complejo$\mathbb{H}^n(\mathbb{C}) = \mathrm{SU}(1, n-1) / \mathrm{U}(n)$
• El espacio hiperbólico cuaterniónico$\mathbb{H}^n(\mathbb{H}) = \mathrm{Sp}(1, n-1) / \mathrm{Sp}(n) \times \mathrm{Sp}(1)$
• El plano hiperbólico de Cayley$\mathbb{H}^n(\mathrm{Cay}) = \mathrm{F}^*_4 / \mathrm{Spin}(9)$

(un poco de colisión de notación:$\mathbb{H}^n$es el$n$-espacio hiperbólico dimensional mientras que$\mathbb{H}$es el campo de los cuaterniones)

Los casos de interés en física (la$3$-variedades utilizadas en la métrica FRW) son el espacio euclidiano,$3$-esfera, espacio hiperbólico y espacio proyectivo real (el espacio proyectivo real tiene la misma curvatura que el$3$-esfera, pero una topología diferente). Esto se debe a que todas las variedades construidas a partir de grupos complejos son de dimensión uniforme (como$\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ser$(2n + 2)$-dimensional).