¿Son los principios de homogeneidad espacio-temporal e isotropía independientes entre sí?

Consulte el libro GR de Carroll en el Capítulo 8.1. o en el Capítulo 8 de las notas de clase disponibles de forma gratuita .

Versión corta: Son independientes.

Espacio homogéneo + isotrópico en 1 punto --> El espacio es homogéneo + isotrópico en todas partes

Espacio isotrópico en cada punto --> El espacio es homogéneo + isotrópico en todas partes

La isotropía es su propio principio, correspondiente a la simetría de rotación/impulso generalizada inherente al espacio-tiempo de Minkowski. Se puede construir una estructura matemática sobre la homogeneidad sin isotropía, pero dicho sistema no es un espacio vectorial como el que estamos acostumbrados a tratar, por lo que es difícil (al menos para mí) de imaginar.

Las transformaciones de Lorentz están mucho más directamente relacionadas con la isotropía: la libertad de cambiar la base de uno y aún describir la misma situación física. Podrías reconocerlo como una generalización de la invariancia rotacional.

Una pieza de hierro magnetizada es homogénea porque es igual en todas partes, pero no es isotrópica porque la magnetización le da una dirección preferente. Entonces puedes tener homogeneidad sin isotropía.

Sin embargo, no creo que puedas tener isotropía sin homogeneidad. O, como han señalado Chris y Ungerade, no se puede tener isotropía en todas partes sin que el sistema sea homogéneo. Ciertamente puede tener un sistema isotrópico sobre un solo punto y no homogéneo.

Los principios de homogeneidad e isotropía del espacio-tiempo dependen unos de otros. La razón de dependencia de uno al otro se refiere a la región del espacio-tiempo de ser homogéneo. La homogeneidad en el espacio-tiempo resulta de ser simétrico, y lo que hace que el espacio-tiempo sea simétrico son simplemente las Leyes de la Naturaleza. Por lo tanto, nuestro espacio-tiempo, o el caparazón en el que vivimos, es homogéneo e isotrópico.