Restricción de un Lagrangiano

Question

Restricción de un Lagrangiano

fmc2

Me pregunto si alguien podría ayudarme con las siguientes preguntas.

Dejar $M$ sea el espacio-tiempo de Minkowski, dado $f\in C^{\infty}(M) ; f(m)=x^{0}(m)$ , con $\{x^{\mu}\}$ siendo un sistema de coordenadas cartesianas global, dada la subvariedad tridimensional $M\supset F_{t}=f^{-1}(t)$ relativo a un valor regular $t\in\mathbb{R}$ de $f$ , y dado el Lagrangiano:

L \in C^{\infty} (T METRO)

$\mathcal{L}\in C^{\infty}(TM)$

L (X^{m}, {\dot{X}}^{m}) = - \sqrt{η_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}}

$\mathcal{L}(x^{\mu},\dot{x}^{\mu})=-\sqrt{\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ dónde

η

$\eta$ es la métrica de Minkowski y

{x^{μ}}

$\{x^{\mu}\}$ un sistema de coordenadas cartesianas global; ¿Cuál es la expresión de las coordenadas del Lagrangiano en

F_{t}

$F_{t}$ :

(T {yo}_{t})^{*} L \in C^{\infty} (F_{t})

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}\in C^{\infty}(F_{t})$

"Sé" de otras "fuentes" que debería encontrar:

(T {yo}_{t})^{*} L (X^{i}, {\dot{X}}^{i}) = L \circ T {yo}_{t} (X^{i}, {\dot{X}}^{i}) = - \sqrt{1 - d_{i j} {\dot{X}}^{i} {\dot{X}}^{j}}

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}(x^{i},\dot{x}^{i})=\mathcal{L}\circ T\iota_{t}(x^{i},\dot{x}^{i})=-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ ¿Está totalmente mal?

Motl de Luboš

El resultado final es explícitamente lo mismo que escribiste antes, como suposición, suponiendo que

x^{0} = t

$x^0=t$ que probablemente lo sea, si

x^{1, 2, 3} = x^{i}

$x^{1,2,3}=x^i$ es el índice de las coordenadas espaciales, y si el punto se refiere a las derivadas con respecto al tiempo. solo te das cuenta de eso

\partial x^{0} / \partial t = 1

$\partial x^0/\partial t = 1$ y trivialidades similares. Si el lagrangiano es una función definida en todo el espacio-tiempo 4D, también se define en subvariedades 3D del mismo, ¿por qué debería haber alguna diferencia aquí? ¿Cuál es el problema aquí?

fmc2

@LubošMotl En realidad, el Lagrangiano se define en el paquete tangente

T M

$TM$ del espaciotiempo y no sobre el espaciotiempo

M

$M$ , además

{x^{μ}, {\dot{x}}^{μ}}

$\{x^{\mu},\dot{x}^{\mu}\}$ y

{x^{i}, {\dot{x}}^{i}}

$\{x^{i},\dot{x}^{i}\}$ son coordenadas en, respectivamente,

T M

$TM$ y

T F_{t}

$TF_{t}$ , mientras

t \in R

$t\in \mathbb{R}$ es un número genérico. En este contexto, no puedo escribir explícitamente la expresión de coordenadas de

T ι_{t}

$T\iota_{t}$ eso debería llevarme a la expresión

- \sqrt{1 - δ_{i j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}}

$-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ .

jerry schirmer

Es exactamente lo que dijo Lubos. Penetre a través de la interminable verbosidad de la geometría diferencial (que es completamente exagerada cuando se aplica al espacio de Minkowski), y verá la respuesta. Una vez que haga esto, puede volver atrás y hacer geometría diferencial si lo desea. La verdadera clave es que los elementos de volumen y las métricas están relacionados mediante relaciones de incrustación simples. Resolver estos, y usted tiene la respuesta.

Respuestas (2)

Restricción de un Lagrangiano

El resultado final es explícitamente lo mismo que escribiste antes, como suposición, suponiendo que $x^0=t$ que probablemente lo sea, si $x^{1,2,3}=x^i$ es el índice de las coordenadas espaciales, y si el punto se refiere a las derivadas con respecto al tiempo. solo te das cuenta de eso $\partial x^0/\partial t = 1$ y trivialidades similares. Si el lagrangiano es una función definida en todo el espacio-tiempo 4D, también se define en subvariedades 3D del mismo, ¿por qué debería haber alguna diferencia aquí? ¿Cuál es el problema aquí?
@LubošMotl En realidad, el Lagrangiano se define en el paquete tangente $TM$ del espaciotiempo y no sobre el espaciotiempo $M$ , además $\{x^{\mu},\dot{x}^{\mu}\}$ y $\{x^{i},\dot{x}^{i}\}$ son coordenadas en, respectivamente, $TM$ y $TF_{t}$ , mientras $t\in \mathbb{R}$ es un número genérico. En este contexto, no puedo escribir explícitamente la expresión de coordenadas de $T\iota_{t}$ eso debería llevarme a la expresión $-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ .
Es exactamente lo que dijo Lubos. Penetre a través de la interminable verbosidad de la geometría diferencial (que es completamente exagerada cuando se aplica al espacio de Minkowski), y verá la respuesta. Una vez que haga esto, puede volver atrás y hacer geometría diferencial si lo desea. La verdadera clave es que los elementos de volumen y las métricas están relacionados mediante relaciones de incrustación simples. Resolver estos, y usted tiene la respuesta.

Valter Moretti · Answer 1

Tus sospechas son correctas: ¡Está mal! Al menos como está escrito actualmente.

Comencemos desde la incrustación de múltiples

i_{t} : F_{t} ∋ pag \mapsto pag \in METRO .

$\imath_t : F_t \ni p \mapsto p \in M\:.$ Induce e incrusta los paquetes tangentes correspondientes:

T i_{t} : T F_{t} ∋ (pag, v) \mapsto (pag, d i_{t} (v)) \in T METRO

$T\imath_t : TF_t \ni (p,v) \mapsto (p, d\imath_t (v)) \in TM$ Este último sólo puede conservar los vectores tangentes a

F_{t}

$F_t$ visto como una subvariedad incrustada en

M

$M$ . No puede decir nada sobre componentes no tangentes a

F_{t} \subset M

$F_t \subset M$ .

Cuando uno fija un sistema de coordenadas $x^0,x^1,x^2,x^3$ adaptado para $F_t$ , es decir $F_t$ coincide con el conjunto de puntos con $x^0=0$ (su $x^0$ es mi $t+x^0$ ), luego también fija un sistema de coordenadas similar que se refiere a $TF_t$ y $TM$ , pasando en los gráficos asociados naturalmente con coordenadas, respectivamente, $x^0,x^1,x^2,x^3,\dot{x}^0,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3$ en $TM$ y $x^1,x^2,x^3,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3$ en $TF_t$ .

Con nuestra elección de coordenadas, las bases resultan ser idénticas y, por lo tanto, $T\imath_t$ conserva el $3$ componentes $\dot{x}^i$ . En otras palabras, como se dijo anteriormente, cualquier vector transportado desde $F_t$ a $M$ sigue siendo tangente a $F_t$ visto como subvariedad de $M$ :

T i_{t} : T F_{t} ∋ (X^{1}, X^{2}, X^{3}, {\dot{X}}^{1}, {\dot{X}}^{2}, {\dot{X}}^{3}) \mapsto (0, X^{1}, X^{2}, X^{3}, 0, {\dot{X}}^{1}, {\dot{X}}^{2}, {\dot{X}}^{3}) \in T METRO

$T\imath_t : TF_t \ni (x^1,x^2,x^3,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3) \mapsto (0, x^1,x^2,x^3,0,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3) \in TM$

Por lo tanto

(T {yo}_{t})^{*} L (X^{i}, {\dot{X}}^{i}) = L \circ T {yo}_{t} (X^{i}, {\dot{X}}^{i}) = - \sqrt{0 - d_{i j} {\dot{X}}^{i} {\dot{X}}^{j}}

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}(x^{i},\dot{x}^{i})=\mathcal{L}\circ T\iota_{t}(x^{i},\dot{x}^{i})=-\sqrt{0 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$

lo cual tiene sentido si se le permite considerar valores complejos. De lo contrario, debe definir el Lagrangiano incluyendo un valor absoluto (el punto es que, tal como está, el valor inicial, sin restricciones, $\mathcal{L}$ no está definido en $TM$ , pero solo en el subconjunto de elementos causales $(p,v) \in T_pM$ con $v$ causal).

Si quieres obtener la expresión $\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ , debe corregir el componente temporal de los vectores haciendo uso de un haz de chorro sobre $x^0$ por ejemplo... (Sin embargo, para ser completamente honesto, todo eso me parece como matar una mosca con un arma).

ADDENDUM: Como escribí en un comentario ahora borrado, cada función de coordenadas diferenciable como $x^0$ en un parche de coordenadas en una variedad es tal que todos sus valores son siempre regulares. (De hecho $dx^0|_p$ tiene que ser un elemento de una base $T_p^*M$ y por lo tanto no puede desaparecer). Por lo tanto, no es necesario asumirlo por separado, como lo hizo en su pregunta.

Gracias, realmente aprecio tu explicación. Lo único que no entiendo es el uso de un paquete Jet sobre $x^{0}$ para arreglar el componente temporal, pero debo admitir que no estoy familiarizado con los paquetes de chorro, y por lo tanto creo que un poco de estudio me lo aclararía todo.

Tobías Diez · Answer 2

De acuerdo con el teorema del valor regular podemos encontrar un gráfico en $M$ tal que la inmersión $\iota_t: F_t \rightarrow M$ toma la forma $\iota_t (x^i) = (x^0_t, x^i)$ . Tenga en cuenta que $x^0$ es una constante fija y solo depende del valor de $t$ . Así, la diferenciación con respecto a la primera variable es la identidad en $TM$ (y las otras coordenadas wrt dan como resultado $\dot x^i$ ) de donde se sigue la ecuación buscada.

¿Puede, por favor, ser más específico y mostrarme el cálculo explícito involucrado cuando dice "Así, la diferenciación con respecto a la primera variable es la identidad en $TM$ (y las otras coordenadas wrt dan como resultado $\dot{x}^{i}$ ) de donde se sigue la ecuación buscada." Lo pregunto porque supongo que la diferenciación para encontrar $T\iota_{t}$ debe hacerse wrt el $x^{i}$ en $F_{t}$ y por lo tanto $\frac{\partial x^{0}_{t}}{\partial x^{i}}=0$ .

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