¿Es un campo tensor métrico lo mismo que ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Realmente esto debería estar escrito$g = -dt \otimes dt+dx \otimes dx + dy \otimes dy + dz \otimes dz$. Aquí$g$es una forma bilineal, también conocida como un tensor (0,2). Se come dos vectores y escupe un número real de forma lineal en cada ranura por separado.

Si tengo un par de vectores$v_1 = (t_1,x_1,y_1,z_1)$y$v_2 = (t_2,x_2,y_2,z_2)$, luego aplicando este tensor al par de vectores da

$g(v_1,v_2) = -t_1t_2+x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

Esto se parece mucho al producto interno habitual entre dos vectores, excepto que no es definido positivo, ya que el producto interno de un "vector de tiempo" consigo mismo es negativo (por lo que el tiempo es una especie de "imaginario" si quieres pensar en ello de esa manera).

Esta no es exactamente una métrica riemanniana ya que no es definida positiva, pero es lo que se llama una métrica pseudo-riemanniana.

Tienes razón en estar confundido y no, no te estás volviendo loco, así que no hay necesidad de alcanzar el haloperidol todavía: esto es simplemente un uso del lenguaje descuidado, pero finalmente bien entendido (en física). Como en las otras respuestas, el nombre "métrica" ​​simplemente se refiere a su similitud algebraica (en el sentido de "forma" de ecuaciones) con un producto interno. Sin embargo, como en las otras respuestas, es una forma bilineal degenerada .

Una cosa que creo que las otras respuestas no han mencionado, que creo que es importante, es que la (pseudo) función de "distancia"$d:\mathcal{M}\to\mathbb{R};\;\; d(X,\,Y)= \sqrt{|g(X-Y,\,X-Y)|}$no es subaditivo , es decir , NO cumple la desigualdad del triángulo. Por lo tanto, la pseudo norma inducida no tiene dos de las propiedades fundamentales del espacio métrico (en el sentido topológico), es decir, hay vectores nulos distintos de cero y no tenemos subaditividad. Este "fracaso" es lo que provoca la dilatación del tiempo y lo que hace que la "paradoja" de los gemelos sea tan interesante (el camino en zigzag del gemelo espacial tiene una "longitud" más corta que el camino vertical del gemelo hogareño).

te gustaria llamar en privado$g$una "pseudométrica" ​​o métrica minkowskiana: lo hago. El nombre "variedad pseudoriemanniana" también se usa mucho para una variedad equipada con una forma bilineal degenerada, pero en todos los demás aspectos como una variedad riemanniana, ya que muchos de los teoremas de la geometría riemanniana también son válidos para variedades pseudoriemannianas. En particular, el teorema "fundamental" de la geometría de Riemann (ver la página Wiki de este nombre) , que hay una conexión única (Levi Civita) (derivada covariante) que absorbe la torsión (la establece en cero), es cierto.

Este es solo el producto interno del campo tensorial en dos vectores. Dado

$$\eta_{00} = -1 \\ \eta_{ij} = \delta_i^j$$ con todos los demás componentes cero, el producto interno $$ds^2 = ds_\mu ds^\mu = \eta_{\mu \nu} ds^\mu ds^\nu$$ es para $ds^\mu = (dt, dx, dy, dz)$, $$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.$$

(Creo que entendí bien mis vectores/formas únicas, pero corríjame si no lo hice).