Prueba del teorema de Birkhoff

Question

Prueba del teorema de Birkhoff

usuario126452

Tengo una pregunta sobre la prueba del teorema de Birkhoff en el libro de Sean Carrolls. Estoy atascado en la parte donde muestra que no hay términos cruzados (en la métrica) entre $(a,b)$ y $(\theta, \phi)$ . (Siguiendo su notación, aquí $(a,b)$ son las coordenadas transversales a las ''esferas de foliación'' y $(\theta, \phi)$ las coordenadas angulares en las esferas.)

Lo demuestra argumentando que los campos vectoriales definidos por las derivadas parciales con respecto a $a$ , $b$ son ortogonales a las definidas por las derivadas parciales con respecto a $\theta$ , $\phi$ .

¿Por qué la segunda afirmación (sobre las derivadas parciales) implica la ausencia de términos cruzados?

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Prueba del teorema de Birkhoff

ryan unger · Answer 1

cuando escribimos

d s^{2} = gramo = {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v},

$ds^2=g=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu,$ estamos definiendo un campo tensorial

g

$g$ , cuya acción sobre los campos vectoriales de coordenadas

{\partial_{μ}}

$\{\partial_\mu\}$ es dado por

{gramo}_{m v} = gramo (\partial_{m}, \partial_{v}) .

$g_{\mu\nu}=g(\partial_\mu,\partial_\nu).$ Para comprobar esto, recuerda

d x^{μ} (\partial_{ν}) = δ^{μ}_{ν}

$dx^\mu(\partial_\nu)=\delta^\mu{}_\nu$ . Recordar que

g

$g$ es un producto interno, entonces

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ y

\partial_{ν}

$\partial_\nu$ ser ortogonal significa precisamente eso

g_{μ ν} = 0

$g_{\mu\nu}=0$ . En tu caso,

g_{a θ} = g_{θ a} = 0

$g_{a\theta}=g_{\theta a}=0$ , por ejemplo, como

\partial_{a}

$\partial_a$ y

\partial_{θ}

$\partial_\theta$ son ortogonales.

Prueba del teorema de Birkhoff

usuario126452

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ryan unger

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