Contraejemplo de la definición de simetría esférica en la relatividad general

Un simple contraejemplo: cualquier espacio-tiempo que tenga estructura$\mathcal{M}_2 \times S_2$para algún espacio bidimensional$\mathcal{M}_2$con radio constante de$S_2$fibras Una prueba de que tal espacio-tiempo no puede tomar forma (1), es notar que las órbitas de métrica (1) en diferentes valores de$r$son necesariamente esferas de diferentes radios.

Un espaciotiempo físicamente interesante con tal estructura es un espaciotiempo de Bertotti-Robinson que es simplemente$AdS_2 \times S_2$:

...un espacio-tiempo es esféricamente simétrico si su grupo de isometría contiene un subgrupo isomorfo a SO(3) cuyas órbitas son 2 esferas. Algunos autores (p. ej. Carroll) no mencionan este segundo requisito sobre las órbitas, y cabría preguntarse si es necesario.

Aquí hay dos ejemplos que muestran que la condición en las órbitas no es redundante:

Primer ejemplo: comience con el espacio-tiempo de Minkowski$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$, elimine la línea de tiempo temporal definida por$(x,y,z)=(0,0,0)$, e imponer la relación de equivalencia$(-x,-y,-z)\cong(x,y,z)$. El espacio-tiempo resultante está geodésicamente incompleto debido a la línea temporal eliminada, pero la métrica de Schwarzschild también está geodésicamente incompleta, así que asumo que esto es aceptable. En cualquier otro lugar, el cociente deja la métrica bien definida y localmente plana, y$SO(3)$sigue siendo un subgrupo del grupo de isometría (todavía tiene una simetría rotacional similar al espacio sobre el origen), pero las órbitas ya no son 2 esferas; son copias de$\mathbb{R} P^2$en cambio.

Segundo ejemplo: Este es liso por todas partes; no se excluyen puntos. Considere el caso$\mathbb{R}\times S^3$con la métrica estándar activada$S^3$, e identificar los puntos antípodas de$S^3$Llegar$\mathbb{R} P^3$. La métrica no cambia localmente y el grupo de isometría incluye$SO(3)$como un subgrupo, pero las órbitas son nuevamente copias de$\mathbb{R} P^2$, no$S^2$.

En ambos ejemplos, la métrica todavía se puede escribir como en la ecuación de OP (1), por lo que estos no son contraejemplos en ese sentido. Sin embargo, muestran que la condición de que las órbitas sean de 2 esferas es una condición independiente, no implicada por tener$SO(3)$como un subgrupo del grupo de isometría.

Quizas el$AdS_2\times S_2$ejemplo descrito por AVS se puede modificar de la misma manera (reemplazando$S_2$por$\mathbb{R}P^2$) para obtener un ejemplo en el que las órbitas de$SO(3)$no son 2 esferas y la métrica no se puede escribir localmente como en (1).

Asumí aquí que el grupo de isometría de$\mathbb{R}P^2$es isomorfo a$SO(3)$. Según https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_orthogonal_group , el grupo de isometría de$\mathbb{R}P^{2k}$es$SO(2k+1)$aunque el grupo de isometría de$\mathbb{R}P^{2k+1}$no es $SO(2k+2)$.