¿Probar que la escisión que preserva la isometría es similar a Killing?

Me parece que tu pregunta no tiene tanto que ver con los campos de exterminio. Es una pregunta más general. Considere un campo vectorial suave$X$sobre una variedad suave (Hausdorff)$M$y suponga que el grupo de un parámetro de difeomorfismos locales $\phi$asociado a$X$es global (lo que equivale a decir que$X$está completo ). En otras palabras, si$x\in M$la ecuacion diferencial

$$\dot{\gamma}_x(t) = X(\gamma_x(t))$$ con condición inicial $$\gamma_x(0)=x$$ admite una solución máxima (única) $\gamma_x= \gamma_x(t)$definido para todos $t \in \mathbb R$.

Existen condiciones suficientes para asegurar que$\phi$es global (por ejemplo, sucede siempre que$M$es compacto).

Por aquí,$\phi : \mathbb R \times M \ni (t,x) \mapsto \phi_t(x):= \gamma_x(t) \in M$es suave y bien definido. Además

(1)$\phi_0 = id$

y

(2)$\phi_t \circ \phi_\tau = \phi_{t+\tau}$para cada$t,\tau \in \mathbb R$.

El caso que está considerando también requiere que$M$está equipado con una métrica no degenerada$g$y$X$es un completo $g$-Matar campo vectorial.

En este caso cada$\phi_t : M \to M$es una isometría.

Bueno, volviendo al caso general, la siguiente proposición es válida.

PROPUESTA . Dejar$A \subset M$sea ​​un conjunto abierto cuya frontera$\partial A$es una codimensión suave-$1$subvariedad incrustada de la variedad suave$M$y$X$un campo vectorial suave y completo en$M$. Entonces los siguientes dos hechos son equivalentes.

(a)$\phi_t(A) = A$y$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$para cada$t \in \mathbb R$.

(b)$X$es tangente a$\partial A$.

prueba _

(1) Probamos que no (a) implica no (b).

si es falso eso$\phi_t(A) = A$y$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$para todos$t$, entonces debe existir un punto$x_0 \in A$tal que$\phi_{t_0}(x_0) \not \in A$o un punto$x_0 \in M\setminus \overline{A}$tal que$\phi_{t_0}(x_0) \not\in M \setminus \overline{A}$para algunos$t_0 \in \mathbb R$. Suponga que lo primero es válido (lo último puede tratarse de manera similar). Asumir$t_0>0$el otro caso es análogo. Ahora hay dos posibilidades para$\phi_{t_0}(x_0) \not \in A$. Uno es$\phi_{t_0}(x_0)\in \partial A$y en este caso definir$s:= t_0$. La otra posibilidad es$\phi_{t_0}(x_0)\in M \setminus\overline{A}$. En este caso, defina

$$s := \sup\{t \in [0,+\infty) \:|\: \phi_\tau(x_0) \in A\:, \quad \tau < t\}\:.$$ Este número existe y es finito (porque el conjunto no está vacío, ya que contiene $0$, y $t_0<+\infty$es un límite superior), estrictamente positivo no mayor que $t_0$, y otra vez $\phi_s(x_0) \in \partial A$.

(De hecho, si$\phi_s(x_0)\in A$hay un barrio abierto de$\phi_s(x_0)$completamente incluido en$A$de modo que$\phi_\tau(x_0) \in A$también para algunos$\tau>s$lo cual es imposible para la definición misma de$\sup$, si$\phi_s(x_0)\in M\setminus \overline{A}$, dado que este conjunto está abierto, habría un vecindario abierto de$\phi_s(x_0)$completamente incluido en$M\setminus \overline{A}$de modo que$\phi_\tau(x_0) \not\in A$en algunos$(s-\epsilon, s]$lo cual es de nuevo imposible para la definición misma de$\sup$; la única identificación de caso restante$\phi_s(x_0) \in \partial A$.)

Probemos que tal$s$(en ambas posibilidades) no puede existir si (b) es válido. En efecto,$X|_{\partial A}$es un campo vectorial completo suave bien definido en la variedad suave$\partial A$y por lo tanto el problema de Cauchy asociado sobre$\partial A$con condición inicial$\dot{\gamma}(s)= \phi_s(x_0) \in \partial A$en$t=s$admite una solución completa completamente contenida en $\partial A$ También por$t<s$, pero esta curva ahora vista como una línea integral de$X$en$M$está determinada de forma única y sabemos por hipótesis que comienza en$x_0 \not \in \partial A$encontrar una contradicción.

(2) Probamos que no (b) implica no (a).

Supongamos que (b) es falso y encontramos que (a) también es falso. Supongamos ahora que hay$x_0 \in \partial A$tal que$X(x_0)$es transversal a$\partial A$. Como$\partial A$es una variedad suave embebida,$X$es suave y no se desvanece en$x_0$, no es muy difícil demostrar que existe un parche de coordenadas$x^1,x^2,..., x^n$alrededor$x_0$en$M$($n = dim(M)$) tal que$x_0 \equiv (0,0,\ldots, 0)$,$\partial A$es la parte del plano$x^1=0$contenida en la imagen de la carta, y las curvas integrales de$X$son las curvas$\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$(ver el ANEXO final ). Desde que el avión se separa$A$de$M \setminus \overline{A}$, es evidente que hay puntos en$A$que se trasladan a$M \setminus \overline{A}$por$\phi$y viceversa. Por lo tanto$\phi_t(A) = A$y$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$para cada$t \in \mathbb R$Es falso.

QED

Evidentemente, si$X$es un campo Killing completo, el resultado se refiere al grupo asociado de isometrías de un parámetro.

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ANEXO . Demuestro aquí que

lema _ Si$S$es un incrustado$n-1$subvariedad suave -dimensional de la$n$-variedad lisa dimensional$M$, y$X$es un campo vectorial suave sobre$M$que no desaparece en$x_0\in S$y no es tangente (es decir, es transversal) a$S$en$x_0$, entonces hay un parche de coordenadas$x^1,x^2,..., x^n$alrededor$x_0$en$M$tal que$x_0 \equiv (0,0,\ldots, 0)$,$S$es la parte del plano$x^1=0$contenida en la imagen de la carta, y las curvas integrales de$X$son (restricciones alrededor$t=0$de) las curvas$\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$.

prueba _ Como$S$está incrustado, hay un parche de coordenadas$(U, \psi)$en$M$alrededor$x_0\in S$tal que$\psi(S \cap U) = \{ (y^1,\ldots, y^n) \in \psi(U) \:|\: y^1=0\}$y siempre podemos suponer$\psi(x_0)= (0,\ldots,0)$. Ahora$X = \sum_a Y^a\frac{\partial}{\partial y^a}$es tal que$Y^1(0,\ldots, 0) \neq 0$simplemente porque$X$es transversal a$S$en$x_0$(las coordenadas$y^2,\ldots, y^n$son coordenadas en $S$). Las líneas integrales de$X$en coordenadas satisfacer$\frac{dy^a}{dt} = Y^a(y^1(t),\ldots, y^n(t))$. Somos libres de arreglar$t=0$exactamente en$S$para todas las curvas. Ahora introduce las coordenadas$x^2 =y^2,\ldots, x^n=y^n$en$S$y escribir dichas curvas integrales como funciones suaves$y^k = y^k(t,x^2,\ldots, x^n)$, dónde$x^2,\ldots, x^n$denota el punto inicial en$S$(en$t=0$) de la curva integral considerada. Dicho mapa es suave, como bien se sabe de los teoremas estándar sobre la dependencia suave de los datos iniciales de los problemas de Cauchy. Definir finalmente$x^1=t$. Dado que la matriz jacobiana$J=[\frac{\partial y^a}{\partial x^b}]$exactamente en$x_0$satisface

$$\det J(x_0) = \frac{\partial y^1}{\partial t}|_{x_0} = Y^1(0,\ldots, 0) \neq 0$$ El teorema de Dini demuestra que $x^1=t$, $x^b= y^b$definir un sistema de coordenadas suave admisible en $M$alrededor $x_0$. En coordenadas locales $x^1,\ldots, x^n$, la porción de $S$entrar en el dominio de las coordenadas todavía está representado por $x^1=0$(porque $x^1=t$y todas las curvas integrales se intersecan $S$en $t=0$) y, localmente, las curvas integrales de $X$son restricciones triviales alrededor $t=0$de las curvas $\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$.