¿Cómo probar que un espacio-tiempo es máximamente simétrico?

Dos métodos generales vienen a la mente:

1. Demuestre que el tensor de Riemann toma la forma de la ecuación 3.191, es decir $$R_{abcd} = \frac{R}{d(d-1)}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})$$ Si le entregan una métrica, en principio debería ser un cálculo sencillo. Si la métrica es en realidad máximamente simétrica, el cálculo del tensor de Riemann suele resultar más fácil de lo habitual, especialmente si utiliza un método de alta tecnología como el formalismo de Cartan con vielbeins y conexiones de espín (consulte el Apéndice J de Carroll).
2. Encuentre el número máximo de vectores Killing. Para una variedad de dimensión$d$, admite un máximo de$\frac12 d(d+1)$Vectores de muerte (estos se explican en la sección 3.8 de Carroll). Esta técnica suele ser más fácil si tiene una buena idea de cuáles son las isometrías de la métrica y, básicamente, puede adivinar todos los vectores Killing. Por ejemplo, en el espacio plano de Minkowski es bastante obvio que los impulsos, las rotaciones y las traslaciones son todas simetrías de la métrica. Entonces escribes los vectores correspondientes al flujo en la dirección de estas transformaciones, y puedes verificar fácilmente que satisfacen la ecuación de Killing,$\nabla_{(a}\xi_{b)}=0$, o$£_\xi g_{ab}=0$, dónde$\xi^a$es el vector Killing.

En la práctica, construir espacios simétricos al máximo es más fácil de lo que parece. En general, comienzas con el múltiple.$\mathbb{R}^{n,m}$con una métrica plana de firma$(n,m)$(es decir, hay n coordenadas espaciales con un$+dx_i^2$contribución al elemento de línea y$m$coordenadas con un$-dy_j^2$contribución). Es bastante sencillo probar que esto es máximamente simétrico. Luego, defines una subvariedad$\mathcal{S}$como el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia fija del origen. Por ejemplo, si empezáramos con$\mathbb{R}^{3,0}$, que es simplemente euclidiana$3$-espacio, decimos$\mathcal{S}$es el conjunto de todos los puntos tal que

$$x^2+y^2+z^2=r_0^2$$ para algún radio fijo $r_0$. Esto, por supuesto, define una esfera de 2, que es un espacio máximamente simétrico de una dimensión menos de $\mathbb{R}^{3,0}$. Puede inferir de esta construcción que la subvariedad $\mathcal{S}$va a ser máximamente simétrico, porque rompimos el grupo completo de isometrías de $\mathbb{R}^{n,m}$hasta las que dejan fijo el origen. Así que empezamos con $\frac12 d(d+1)$isometrías ( $d=n+m$), y perdió todas las traducciones, de las cuales hay $d$, por lo que nos queda $\frac12 d(d+1)-d = \frac12(d-1)d$isometrías, que es el número máximo para $d-1$dimensiones.

Ya que usted preguntó acerca de los espacios-tiempos 4D máximamente simétricos, hay básicamente tres cosas que puede hacer. El trivial es solo el espacio de Minkowski,$\mathbb{R}^{3,1}$. Lo siguiente que podemos hacer es comenzar con el espacio de Minkowski de cinco dimensiones,$\mathbb{R}^{4,1}$, y selecciona todos los puntos que están a una distancia espacial fija del origen,

$$x^2+y^2+z^2+w^2-t^2 = r_0^2$$ (aquí $(x,y,z,w)$son las coordenadas espaciales). La métrica inducida en la subvariedad es el espacio de De Sitter, $dS_4$, el espacio-tiempo 4D con curvatura positiva constante.

Finalmente, puede comenzar con$\mathbb{R}^{3,2}$el espacio euclidiano con$3$direcciones espaciales$(x,y,z)$y$2$direcciones temporales$(t_1,t_2)$. Esta vez consideramos todos los puntos que están a una distancia temporal fija del origen,

$$x^2+y^2+z^2-t_1^2-t_2^2=-r_0^2$$ La métrica inducida para esta subvariedad es el espacio anti-de Sitter, $AdS_4$, que es el espacio-tiempo 4D de curvatura constante negativa.

Localmente, creo que cualquier espacio simétrico al máximo se verá como uno de los espacios construidos con esta técnica de incrustación. Sin embargo, en algunos casos, puede haber características topológicas no triviales que hagan que el espacio con máxima simetría difiera de las variedades incrustadas que acabamos de construir. Un ejemplo es para$AdS_4$: tal como está, la variedad que construimos tiene curvas temporales cerradas (que surgen de moverse en el$t_1$-$t_2$plano). Estos pueden eliminarse "desenrollando la dirección del tiempo", lo que matemáticamente significa que vamos a la cubierta universal simplemente conectada, que es topológicamente diferente de la$AdS_4$acabamos de construir, pero localmente se ve exactamente igual.