¿Simetrías de celdas unitarias y grupos de puntos convencionales?

Una definición de celda unitaria convencional de una red es aquella que contiene las mismas simetrías de grupos de puntos que la red total y es la celda más pequeña de este tipo.

Puedo entender cómo una red (infinita) puede tener una simetría de grupo de puntos sobre cualquier punto de la red, como simetría rotacional, simetría de espejo, etc.

Pero no puedo ver lo mismo para una celda unitaria. ¿Alguien puede explicar cómo hacemos para comparar las simetrías de grupos de puntos de una celda unitaria con la de una red general? (por ejemplo, qué puntos usamos, para una celda, qué significa exactamente una simetría cuando la mayoría de las transformaciones la mueven desde su posición original, etc.)

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Considere el siguiente diagrama de una red cúbica 2d simple:ingrese la descripción de la imagen aquí

En este diagrama, hay una celda unitaria en verde. Esta celda comparte claramente la simetría de la reflexión a través de la línea A con la red. Sin embargo, la red también es simétrica por reflexión a través de la línea B, pero la celda unitaria no lo es, aunque para la red es una simetría de grupo de puntos de uno de los puntos de la red dentro de la celda unitaria. Por lo tanto, diría que esta celda unitaria y la red no comparten la misma simetría y, por lo tanto, esta celda unitaria no es una celda unitaria convencional. Sin embargo, sé (estoy bastante seguro) de que esta es de hecho una celda unitaria convencional, dada la definición anterior. Sin embargo, no puedo entender cómo se mantiene esto y dónde mi razonamiento es incorrecto.

La 'celda unitaria convencional' no es una cosa precisa, ya que hay muchas celdas unitarias 'convencionales' llamadas así por diferentes autores. Ahora, una celda unitaria de Wigner-Seitz, que tal vez usted pueda entender dado el amplio uso que hace Wigner de la teoría de grupos.
@JonCuster Aunque el término 'Celda unitaria convencional' puede no ser preciso, creo que mi definición anterior lo es, y para una red dada especifica una celda única (la he cambiado ligeramente desde que publicó su comentario).
Con respecto a su frase final, recuerde que las operaciones de grupos de puntos no traducen el objeto. Las transformaciones no mueven la celda.
@garyp considere un cubo, a menos que lo gire sobre su centro y en cantidades muy específicas, el cubo ocupará un espacio diferente (es decir, sus esquinas antes y después de la rotación no se alinearán).
Ok, pero eso no es una operación de grupo. Así que supongo que no entiendo por qué mencionas esta posibilidad. Me preocupa que no entiendo su pregunta.
@garyp Supongo que lo que me confunde es cómo identificamos la celda unitaria con la misma simetría que el cristal y qué significa exactamente que una celda unitaria tenga la misma simetría que el cristal.
¿Decimos, por ejemplo... "las simetrías del grupo de puntos de la celda unitaria con respecto a su centro deben ser las mismas que las simetrías del grupo de puntos del cristal con respecto a cualquier punto de la red"?
Si tomamos una versión 3D de su pregunta, ¿desaparece el problema si tomamos una celda unitaria cúbica?

Respuestas (3)

Una definición de celda unitaria convencional de una red es aquella que contiene las mismas simetrías de grupos de puntos que la red total y es la celda más pequeña de este tipo.

No creo que esta sea la definición de una "celda unitaria convencional".

La "celda más pequeña" que describe completamente cualquier estructura es la celda primitiva , que es la celda más pequeña que contiene solo un punto de red.

https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_cell

Las simetrías importantes para la celda primitiva son las simetrías traslacionales, que forman parte de la simetría del grupo espacial de la red, no de la simetría del grupo puntual. Debido a que la definición de la celda primitiva no especifica la posición del origen de la celda con respecto al punto reticular contenido, la simetría del grupo de puntos de una celda primitiva no está definida de manera única y depende de la elección del origen de la celda. Puede, o no, ser capaz de encontrar operaciones de simetría de grupos de puntos dentro de una celda determinada que esperaría al mirar el cristal completo.

Me gustaría agregar que existe un procedimiento para encontrar la celda primitiva llamado procedimiento de Wigner-Seitz. Ver esta página web , por ejemplo.

La celda unitaria es una figura 3D que posee cierta simetría (por ejemplo, cubo, tetrágono, etc.). La celda unitaria se selecciona después de haber descubierto cuál es la simetría del cristal, y se selecciona de manera que tenga la simetría del cristal (puede ser bastante complicado, como aquí ). No puede construir una celda unitaria si no sabe cómo se ve su cristal (solo por la cantidad de átomos, etc.). Con una celda unitaria dada puedes reproducir tu cristal.

Hola, gracias por su respuesta. Dijiste "se selecciona de manera que tenga la simetría del cristal", este es el quid de mi pregunta. No puedo ver cómo comparamos la simetría de la celda unitaria con el cristal infinito. Le agradecería que profundizara más en esta afirmación. También vea las ediciones a la pregunta anterior (he tratado de aclarar más mis problemas).
Después de leer tu edición, supongo que puedo ver lo que falta. La clave es que estamos considerando grupos de PUNTOS, es decir, debes cuidar que todos los elementos del grupo estén relacionados con el mismo punto. Para la celda unitaria, esto suele ser un "centro" de la celda unitaria, es decir, su punto más simétrico (el centro del cuadrado en su caso). Ahora, si dibuja la línea horizontal a través del centro de la celda, tanto la celda como la red serán simétricas con respecto a la reflexión.
En otras palabras, cuando busca un elemento de simetría en su red o celda unitaria, debe hacer la pregunta "¿Puedo encontrar un punto/línea con respecto al cual mi celda unitaria/red tendrá esta simetría?". Ejemplo crudo de cómo su forma de pensar anterior no funcionará en la red: en su dibujo, otro elemento de simetría es la rotación por Pi / 4. Si seleccionaré aleatoriamente cualquier punto (digamos 1/5 de la constante de la red alejada del punto A), mi red no será simétrica a la rotación por Pi/4. Pero si busco un punto por el que sí, lo encontraré.
Finalmente, en el caso general, puede no ser muy obvio dibujar una celda unitaria o encontrar un punto en la red para el cual se respeten todas las simetrías. Reprobé mi primer intento en el examen de teoría grupal, porque no pude encontrar uno :)
Un comentario extra: hay cierta libertad de elección de la celda unitaria como sabrás, que no limita la generalidad. Por ejemplo, puede colocar el centro del cuadrado en el punto B. En este caso, todavía tendrá planos de reflexión horizontales y diagonales, aunque ahora se requerirá que la diagonal pase por B.
¿Estamos diciendo que encontramos la simetría del grupo de puntos de la celda unitaria en un punto P (que probablemente sea el centro) y si la red tiene la misma simetría del grupo de puntos con respecto a P, entonces esta celda unitaria se llama convencional?
Supongo que hay una cierta diferencia en la terminología entre las personas (tal vez simplemente no estoy al tanto de cuál es la adecuada). Por ejemplo, me han enseñado que las celdas primitivas no necesariamente poseen simetría de red sino que tienen el volumen más pequeño posible, mientras que las celdas unitarias sí lo tienen (como Wigner-Seitz). Ahora, la celda unitaria convencional es la que se basa en los vectores de Bravais y tiene una simetría completa de la red. Por lo general, no digo celda unitaria primitiva (a menos que sea Wigner-Seitz), aunque sé que la gente lo hace (puede ser porque tengo educación rusa).
Entonces, nuevamente en la terminología a la que estoy acostumbrado, cualquier celda unitaria debe tener la simetría de la red, pero lo convencional se basa en los vectores de Bravais.
Creo que esto tiene el carro delante del caballo, por así decirlo. Definimos una celda unitaria de acuerdo a cómo queremos trabajar con la red. Podemos desear un conjunto específico de reglas de simetría o podemos desear una convención operativa específica. Mejor dicho, la celda unitaria no se revela por la simetría de la red, la celda unitaria puede elegirse para revelar un conjunto específico de simetrías en la red general. Las convenciones de celda unitaria primitiva y celda unitaria cúbica de las redes BCC o FCC vienen a la mente como ejemplos.

Parte de su dificultad es que no está eligiendo un punto sobre el cual definir sus operaciones de simetría (después de todo, se llaman simetrías de puntos ). En el caso de su cuadrado específico, las operaciones de simetría se definen w/r al centro del cuadrado.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto deja claro que las reflexiones, indicadas en azul o rojo, se refieren a planos que pasan por el punto de simetría. En particular, una reflexión sobre el intercambio del eje horizontal ( 12 ) ↔ ( 43 ) .

Si elige un átomo en el cuadrado como punto de simetría, necesitará usar traslaciones (discretas) para devolver el cuadrado transformado a su posición original. Estas traslaciones también se incluyen en el grupo de simetría de la red , por lo que no se produce ningún daño real, ya que dos celdas cualesquiera son equivalentes.

Hay varias buenas fuentes sobre esto, pero una que me gusta es

AW Joshi, Elementos de teoría de grupos para físicos .

¿No es la reflexión una simetría que se define a través de una línea?
sí, pero esta línea pasa por el punto de simetría.
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