Prueba geométrica del número de puntos de celosía en celosía 3D

Es bien sabido que el número de puntos de red en objetos tridimensionales (3D) de red cúbica simple, red cúbica centrada en el cuerpo y red cúbica centrada en la cara es 1, 2 y 4, respectivamente (fuente ) . Lo que no entiendo es cómo probar que el valor de cada punto de celosía en estas celosías, que está en la esquina, el centro del cubo y el centro de la superficie (cara) son$\frac{1}{8}$,$1$, y$\frac{1}{2}$.

Supuse que los valores se hicieron debido a su definición de celosía y celda primitiva en sí misma, que

La red es una matriz infinita de puntos en el espacio en el que cada punto tiene un entorno idéntico entre sí (es decir, la distancia entre ellos debe ser la misma). Una red puede verse como un mosaico regular de un espacio por una celda primitiva.

La celda primitiva es una celda de volumen mínimo (una celda unitaria) correspondiente a un solo punto de red de una estructura con simetría traslacional discreta.

( La primera oración en la definición de celosía es de una nota de conferencia, la segunda oración en la definición de celosía es de Wikipedia )

Por lo tanto, pensé que estos puntos de celosía en una celosía 3D corresponden a puntos de celosía en una celda unitaria 3D (porque la celda primitiva corresponde a una estructura que tiene una celda de volumen mínimo que es una celda unitaria 3D) y con la definición de celosía, todo los puntos deben tener las mismas distancias entre sí, por lo que las 8 esquinas en una red cúbica simple deben representar solo un punto de red. Pero, no creo que tenga sentido porque las esquinas pueden tener una distancia de$l \sqrt{2}$y$l \sqrt{3}$($l$es la longitud de la arista del cubo) a otras esquinas y estos puntos no son idénticos (y no se pueden representar como un solo punto de celosía).

1. ¿Qué tipo de celosía hace que los valores de los puntos de celosía$\frac{1}{8}$,$1$, y$\frac{1}{2}$? Muchas fuentes dijeron que los retículos son esferas duras (átomos), pero no creo que estos retículos se hayan hecho para esa situación porque creo que los retículos de Bravais no se hicieron para esferas duras (la página de celdas primitivas no menciona ningún criterio para el retículo ). ¿Son correctos los valores para un punto simple (no una esfera dura) de las redes de Bravais?

2. ¿Cuál sería el valor del punto de celosía en el borde medio del cubo?

3. ¿Funciona el valor del punto de celosía en la esquina ($\frac{1}{8}$) en celda unitaria hexagonal 3D? Wikipedia dijo que la celda unitaria no es primitiva (por lo tanto, no es una red de Bravais) debido a dos conjuntos no equivalentes de puntos de red. No puedo determinar el valor de cada punto de celosía en la celda y demostrar que no corresponde a un solo punto de celosía (porque no es una celda primitiva).

¿Existe alguna prueba geométrica para obtener el valor del punto de red en estas redes tridimensionales?