Forma de tensores de 3 órdenes en grupos de puntos Oh,O,TdOh,O,TdO_h, O, T_d y D3D3D_3

En el espacio real, dado un vector de coordenadas$(x_1, x_2, x_3)$, el tensor calcula una cantidad

$$s=T_{ijk}x_ix_jx_k,$$

donde hay una suma implícita de 1 a 3 en índices repetidos. Aplicando una transformación de grupo de puntos,

$$x'_i = R_{ij}x_j,$$

y queremos que las nuevas coordenadas del tensor satisfagan

$$s=T'_{ijk}x'_ix'_jx'_k.$$

De este modo

$$T_{ijk}x_ix_jx_k=s=T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn}x_lx_mx_n$$

tiene que ser válido para cualquier$x_1, x_2, x_3$y por lo tanto

$$T_{lmn} = T'_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.$$

Requerir que el tensor sea invariante es requerir que$T_{ijk}=T'_{ijk}$para todos$i,j,k=1,2,3$y aquí están sus ecuaciones:

$$T_{lmn} = T_{ijk}R_{il}R_{jm}R_{kn},\text{ for all } l,m,n=1,2,3.\tag{1}$$

Trabajemos con el ejemplo que querías. Trabajando con el$R$ajuste (no es lo mismo$R$como arriba, ¡en caso de que te lo preguntes!), el grupo tiene el siguiente generador único

$$R=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},$$

que simplemente permuta circularmente el vector base. Elegí esa configuración porque hace que$R$lo más escaso posible, simplificando así la escritura de las ecuaciones (1). En realidad, incluso podemos caracterizar explícitamente los elementos distintos de cero de la matriz de rotación:$R_{ij}$es distinto de cero iff$\newcommand{\modulo}[2]{#1\,(\textrm{mod}\,#2)}\modulo{i=j+1}{3}$. Por lo tanto, las ecuaciones (1) se leen

$$T_{lmn} = T_{\modulo{l+1}{3},\modulo{m+1}{3},\modulo{n+1}{3}},\ \forall l,m,n=1,2,3.$$

Por supuesto, en general, no existe una fórmula tan clara porque el patrón disperso de la matriz de rotación no es tan claro. No puede evitar el tedio, o puede usar un CAS, o lanzar un pequeño guión en su idioma preferido.