Teorema de Bloch para una red con subredes

El teorema de Bloch establece lo siguiente: supongamos que tenemos un hamiltoniano

H = pag 2 2 metro + V ( X )

dónde V ( X + a ) = V ( X ) , entonces las funciones de onda toman la forma ψ k ( X ) = mi i k X tu k ( X ) y tu k ( X + a ) = tu k ( X ) .

Si tenemos una red que tiene subredes, como el grafeno que tiene dos subredes A y B , entonces he leído aquí en Eq. (2) y aquí en la ecuación. (2.5) que, como la traslación entre las dos subredes no es una simetría del hamiltoniano, tenemos que escribir las funciones de onda de Bloch como

ψ k ( X ) = ψ k A ( X ) + ψ k B ( X )

dónde ψ k A y ψ k B son funciones de onda de Bloch para cada subred. No veo por qué este es el caso. Para el grafeno, esperaría que el hamiltoniano se pueda escribir como

H = pag 2 2 metro + V A ( X ) + V B ( X )

dónde V A ( X ) y V B ( X ) son los potenciales periódicos de cada subred. Sin embargo, como cada subred tiene la misma periodicidad, entonces podría escribir V ( X ) = V A ( X ) + V B ( X ) y simplemente aplique el teorema de Bloch como se indicó anteriormente con una sola solución ψ k ( X ) . ¿Cómo sé que puedo dividir la función de onda en las funciones de Bloch de las subredes individuales? ¿Cómo "ve" el teorema de Bloch las subredes?

Podría reformular mi pregunta en términos de teoría de grupos. El espacio de Hilbert H de la teoría forma una representación de las traslaciones discretas T = { T ( a ) : a ∈ Λ } , dónde Λ es la red de Bravais. Si agrego dos átomos a la celda unitaria, como en el grafeno, la red de Bravais no ha cambiado, es decir, la periodicidad de la red no ha cambiado, por lo que el grupo de simetría de la red sigue siendo T , sin embargo, los resultados anteriores implican que el espacio de representación se ha dividido como H = H A ⊕ H B , dónde H A / B son irresponsables de T para cada subred. ¿Cómo muestro esto? ¿Cómo sabe el teorema de Bloch sobre las subredes?

Respuestas (1)

En realidad, no hay contradicción entre lo que dice y lo que dicen los dos documentos vinculados. De hecho, los dos documentos describen la solución de la ecuación de onda en la forma de una solución de unión estrecha , que de hecho es una función de onda de Bloch, pero está construida como la suma de funciones de onda con términos centrados en las dos subredes.

Recuerde que la idea del modelo de enlace estrecho es construir las funciones de onda de Bloch como una superposición de orbitales atómicos asociados a los átomos de la red cristalina. Dado que la red de grafeno es una red con una base de dos átomos, la solución considera la superposición de los orbitales atómicos de cada uno de los dos átomos. Acerca de esto, véase también NW Ashcroft y ND Mermin, Solid state physics , capítulo 10, sección Comentarios generales sobre el método de unión estrecha, comentario 4.

Como comentario adicional, la descomposición de ψ en ψ A + ψ B puede ser visto como arbitrario, ya que ψ A y ψ B ni siquiera son ortogonales en general, por lo que uno podría redefinir cada término como desee (digamos, ψ A ′ ( X ) = ψ A ( X ) + ϵ ( X ) y ψ B ′ ( X ) = ψ B ( X ) − ϵ ( X ) ).
¿Sigue siendo válido este argumento si en su lugar elegimos la base de Wannier? La base de Wannier a veces se usa para modelos de unión estrecha en lugar de orbitales atómicos, ya que forma una base ortonormal. Los estados de Wannier son la transformada de Fourier de los estados de Bloch, y hay exactamente un estado de Wannier para cada vector de red de Bravais. Por esta razón, habría la mitad del número de estados de Wannier como sitios atómicos en el grafeno (porque cada sitio de la red de Bravais contiene dos sitios atómicos por celda unitaria), entonces, ¿no podemos usar los estados de Wannier como base para un modelo de unión fuerte?
@Hermitian_hermit Dependiendo de cómo descomponga las funciones de onda de Bloch, puede construir funciones de Wannier centradas en ambos átomos de la base. O puede considerar la base de dos átomos como una molécula y construir las funciones de Wannier a partir de la red de moléculas. En cualquier caso, recuerde que el objetivo del método de enlace estricto es construir una solución aproximada de la ecuación de Schroedinger y, por lo general, se intenta, al menos como primera aproximación, construir una solución simple.
En cualquier caso, hasta donde yo sé, si desea utilizar las funciones de Wannier con el método de enlace estricto, ya debería haber encontrado una solución de la ecuación de Schroedinger con otro método. Entonces, se vuelve más complicado.
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