Simetría del tensor de tensión de Cauchy 3×33×33\times 3 [duplicado]

Cuando se presenta el tensor de tensión (por ejemplo, en un contexto no relativista), se muestra que es un tensor en el sentido de que es una transformación vectorial lineal: opera en un vector norte (la normal a una superficie), y devuelve un vector t norte que es el vector de tracción. Luego se muestra que la conservación del momento angular conduce a la simetría de la matriz.

Sin embargo, los tensores se presentan de forma más natural como funciones multilineales. Me pregunto:

  • ¿Qué tipo de tensor es el tensor de tensiones de Cauchy ? Es norte un vector o un co-vector? Qué pasa t norte ?
  • ¿Hay alguna manera de entender la simetría cuando se piensa en el tensor de tensión como una función de dos vectores (o dos co-vectores), bajo los cuales parecerá intuitivo por qué? σ ( A , B ) = σ ( B , A ) ?

Editar : para aclarar, veamos, por ejemplo, la primera coordenada del vector de tracción t norte de una normal arbitraria norte : Esto es ⟨ mi 1 , σ ( norte ) ⟩ . Por simetría, esto es equivalente a ⟨ norte , σ ( mi 1 ) ⟩ - el producto interior de norte con el vector de tracción de una superficie ortogonal a mi 1 . Matemáticamente, entiendo por qué esto es correcto. Pero, ¿hay algún significado intuitivo de por qué estas dos cantidades son iguales?

Como estás hablando de vectores normales, tienes la garantía de tener una métrica. Cuando tienes una métrica, no hay realmente una distinción importante entre vectores y covectores; puede usar la métrica para convertirlos de un lado a otro de forma natural.
Si bien puedo convertirlos cuando tengo una métrica, sigo pensando que hay una distinción en la forma de pensar en ellos. Esto es particularmente cierto cuando se generaliza a SR o GR, donde no tienen las mismas coordenadas.
En algunos casos, la idea es que incluso si el tensor de tensión-energía obtenido por la definición d S d gramo m v no es simétrico, puede agregar otra pieza para hacerlo simétrico y aún así satisfacer las propiedades necesarias. por ejemplo: en.wikipedia.org/wiki/…
@Silva: el tensor de tensión cuando se deriva de d S d gramo a b siempre es simétrico (por definición), es cuando lo derivó como Noether actual en las traducciones que puede no ser simétrico y debe agregarse una divergencia peculiar (como se explica en su enlace).
Ben Crowell le da la respuesta principal: una vez que tiene una métrica, siempre puede cambiar, por ejemplo, un tensor de 2 covariantes en un tensor de 2 contravariantes o un tensor de 1 covariante y 1 contravariante, gracias a las métricas: σ i j = gramo i k σ j k = gramo i k gramo j yo σ k yo . Por supuesto, la primera y la última expresión del tensor se ajustan mejor para expresar la simetría del tensor. En cuarto lugar, su segundo punto, diciendo que σ ( A , B ) = σ ( B , A ) ∀ B , A es exactamente lo mismo que decir eso σ es simétrico Así que no te trae nada nuevo o interesante.

Respuestas (2)

Hablando sobre el tensor de estrés de Cauchy en la mecánica clásica, la respuesta a su primera pregunta es que no importa, ya que tiene métrica en coordenadas arbitrarias inducidas por el producto escalar del espacio euclidiano subyacente.

Puede explotar la simetría del tensor de tensión de Cauchy a partir del equilibrio del momento angular suponiendo que no haya tensiones de par, es decir, fuentes de momento angular. La prueba a menudo se realiza probando la tracción. σ i j norte j por un campo hasta cierto punto arbitrario ϕ i y utilizando balances de momento lineal y angular. Por ejemplo, puedes examinar ϵ i metro norte X norte σ i j norte j como se hace en el artículo Principio de estrés de Euler-Cauchy en Wikipedia . Para que puedas aplicar σ ( A , B ) a norte y cualquier cantidad por lo que tiene sentido multiplicándola por la fuerza. No creo que alguna afirmación intuitiva pueda tomar forma σ ( A , B ) = σ ( B , A ) .

Por otro lado, en Gurtin, ME: An Introduction to Continuum Mechanics (demostración del teorema de Cauchy, capítulo V, sección 14) la tracción se prueba mediante un desplazamiento infinitesimal rígido y el equilibrio del momento angular y lineal (en forma del teorema del trabajo virtual con el desplazamiento antes mencionado ) se utiliza. Luego, después de alguna manipulación, llegas a σ i j W i j = 0 para todos W sesgar donde W es el gradiente de deformación de este desplazamiento.

Para hacerlo más intuitivo, solo considere que σ i j v i , j es el trabajo realizado por las fuerzas superficiales internas. No se puede hacer tal trabajo con movimientos rígidos cuando v i , j es sesgado. Por eso σ debe ser simétrico.

Gracias, la explicación de Gurtin suena prometedora. ¿Puede escribir algunos detalles más o, alternativamente, vincular a las partes relevantes del libro?
@RS: No preferiría intentar condensar aquí el contenido del libro. Gurtin camufla el equilibrio del momento lineal y angular en el teorema del trabajo virtual y luego lo usa en la prueba de simetría. Mejoré una referencia. ¿Puedes alcanzar el libro?
Voy a tratar de. También vea la aclaración a mi pregunta, si aún no lo ha hecho.
Eso es solo una reformulación de la simetría. Como dije, veo una muy buena razón física independiente en que σ i j v i , j es el trabajo realizado por las fuerzas superficiales internas y debe ser cero para los movimientos rígidos. Yo diría que esto es intuitivo.

La respuesta a su primera pregunta es que todas las interpretaciones posibles están bien. En la mecánica clásica de medios continuos, la métrica euclidiana le permite traducir sin ambigüedades entre vectores y covectores, por lo que ambos norte y t norte pueden ser cualquiera de los dos. La elección del tipo para la "entrada" y la "salida" determina el tipo de tensor que será la energía de tensión.

En entornos más generales, esto también es válido: hablar de simetría tensorial requiere la especificación de una métrica, en cuyo caso los vectores y covectores se pueden identificar sin ambigüedades. Si no hay una métrica presente, la única forma de hablar de simetría tensorial es ver los tensores como formas multilineales.

Normalmente elegirías ambos norte y t (déjame soltar el norte ) como vectores, en cuyo caso la identidad tensorial t = S norte se lee por componentes como t i = S i j i norte j , y S debe ser visto como un operador lineal de mi 3 a sí mismo, y es simétrico en el sentido de que ⟨ tu , S v ⟩ = ⟨ S tu , v ⟩ para todos tu , v ∈ mi 3 , dónde ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ es la métrica euclidiana en mi 3 .

Sin embargo, este tipo de simetría tiende a poner nerviosas a algunas personas. En este caso, puede ayudar tomar norte ser un vector y t = S norte ser un covector, en cuyo caso t i = S i j norte j , y la simetría de S es por componentes S i j = S j i . Aquí S debe verse como una forma bilineal simétrica S ( v , norte ) = S ( norte , v ) , dada por S ( v , norte ) = ( S norte ) ( v ) = t ( v ) = t i v i = v i S i j norte j .

Por lo tanto, la conclusión es que la simetría es del tipo que desee, siempre que elija los tipos de entrada y salida de (co) vector de manera adecuada.

Gracias por el comentario. No estoy seguro de que esto responda a mi pregunta; lo edité para aclararlo.
-1 ya que esto no responde a la segunda parte de la pregunta. Solo explica qué es una simetría de tensor.
@JanBlechta Gracias por el voto negativo. Me parece muy deportivo descartar respuestas que no anticiparon cambios futuros a la pregunta original.
De nada. Como solo das una razón física intuitiva de la simetría del tensor de estrés, cambio mi voto.
@JanBlechta Bienvenido a physics.stackexchange. Downvoting funciona de manera diferente a lo que puede esperar de otros sitios. La gente normalmente solo vota negativamente las respuestas que claramente no son adecuadas para la pregunta. Las respuestas parciales, o las respuestas que aún no se han adaptado a los cambios en la pregunta, generalmente no reciben votos negativos. Lo felicito por sus esfuerzos para responder la pregunta original y revisada del OP, y le pediría que sea un deportista y deje que la comunidad decida el mérito relativo de ambas respuestas.
OK, leí nuevamente tu respuesta y admito que respondiste bien la primera parte. Así que cancelo el voto negativo. Pero no puedo votarte porque no respondiste ¿Hay alguna manera de entender la simetría cuando se piensa en el tensor de estrés como una función de dos vectores (o dos co-vectores), bajo los cuales parecerá intuitivo por qué? σ ( A , B ) = σ ( B , A ) ? de acuerdo a mi opinión. Siento que el autor de la pregunta quiere descubrir una razón física intuitiva por la cual σ ( A , B ) = σ ( B , A ) , pero no las formulaciones equivalentes que das.
Mi voto ahora está bloqueado. Entonces cancelaré un voto negativo más tarde a menos que edite la respuesta.
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