Aquí hay otra manera de pensar en ello. Será útil hacer una analogía con la ecuación de continuidad para el flujo de fluidos. Suponga que tiene un fluido que fluye con una velocidad no uniforme$\vec{u}(\vec{r})$. Considere la región$\Omega$del fluido limitado por una superficie$S$, y suponga que le dicen que la masa total en la región$\Omega$es constante, y además la densidad de masa$\rho(\vec{r})$en cada punto en$\Omega$es constante ¿Qué podrías concluir de esto? Bueno, sabes que hay una corriente de masa en el fluido dada por$\vec{J}=\rho \vec{u}$, y dado que cada pieza de masa se mueve continuamente, el cambio de densidad en un punto es igual a la cantidad de masa que fluye hacia ese punto. Esto se expresa matemáticamente por la "ecuación de continuidad"$\dot{\rho} = -\nabla \cdot \vec{J}$. Integrando esto en todo el volumen, encontramos$\dot{M} = \int_\Omega \dot{\rho} = \int_\Omega - \nabla \cdot \vec{J} = - \oint_S \vec{J} \cdot \hat{n}\, dA$. En el extremo derecho, el término$\vec{J} \cdot \hat{n}$representa el flujo de masa a través de la superficie.

De hecho, el tensor de estrés no es mucho más difícil de entender que esto. Tienes dos preguntas: ¿Por qué la fuerza sobre una superficie es lineal en$\hat{n}$? y porque es$\sigma$¿simétrico? Voy a responder a estos uno a la vez. Ambas respuestas se harán por analogía con el flujo de fluidos.

¿Por qué la fuerza sobre una superficie es lineal en$\hat{n}$?

Supongamos que tenemos una gran pieza de material y se nos dice que la densidad de cantidad de movimiento, que denotaré$\vec{p}$, y la densidad del momento angular, que denotaré$\vec{\ell}$, es constante en alguna región$\Omega$con límite$S$. Elijamos un sistema de coordenadas y elijamos un componente del momento para observar, digamos el$i$el componente,$p_i$. Entonces$p_i$es análogo a$\rho$. Dado que cada pequeña pieza de material solo ejerce fuerzas sobre sus vecinos (no hay fuerzas de largo alcance), el$p_i$debe moverse continuamente a través del material. Así el flujo de$p_i$es descrito por algunos$\sigma_{ij}$que es análogo a$-J_j$(Observe que hay una convención de signos). identificando$\dot{p}_i$con$f_i$, la fuerza por unidad de volumen, la ecuación de continuidad nos da$f_i = \partial_j \sigma_{ij}$(recordando la convención de signos). Integrando sobre la región$\Omega$, con$P_i$ser$i$ª componente de la cantidad de movimiento total, encontramos$\dot{P}_i = \int_\Omega \dot{p}_i = \int_\Omega \partial_j \sigma_{ij} = \oint_S \sigma_{ij} n_j \, dA$. Así el término$\sigma_{ij} n_j$tiene la interpretación de flujo de cantidad de movimiento a través de la superficie, o en otras palabras, la fuerza por unidad de área en la superficie. Por lo tanto, la respuesta a la primera parte de su pregunta es que la fuerza por unidad de área es lineal en$\hat{n}$por la misma razón que el flujo de masa a través de un área es lineal en$\hat{n}$, y esta razón es que hay alguna corriente que describe cómo la masa (o el momento) se mueve a través del medio, y el flujo es solo la corriente punteada en$\hat{n}$.

Por que es$\sigma$¿simétrico?

Ahora abordemos la segunda parte de su pregunta, ¿por qué debe$\sigma_{ij}$ser simétrica si el objeto está en equilibrio. Consideremos ahora la$i$ª componente de la densidad de momento angular$\ell_i$. Sabemos que un agente externo que ejerce una fuerza por unidad de área$\vec{f}$en un punto$\vec{r}$sobre la superficie está ejerciendo un momento de torsión cuya$i$la componente está dada por$\tau_i = \epsilon_{ijk} r_j f_k$. Sin embargo, sabemos por el párrafo anterior que$f_k = \sigma_{kh} n_h$. Así concluimos que$\tau_i$, que es el flujo de$\ell_i$, es dado por$\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} n_h$. Sabemos que esto debería ser una corriente punteada en$\hat{n}$, entonces el$\ell_i$la corriente debe ser$\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh}$. el cambio en$\ell_i$por unidad de volumen, que es$i$ª componente del par por unidad de volumen$\tau_i$, es la divergencia de esta corriente:$\dot{\ell}_i = \partial_h \epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} = \epsilon_{ijk} (\partial_h r_j) \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j (\partial_h \sigma_{kh}) = \epsilon_{ijk} \delta_{hj} \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j f_k = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} + \epsilon_{ijk}r_j f_k.$

El segundo término es$\vec{r} \times \vec{f}$como era de esperar, esto tiene en cuenta el momento angular producido por la traslación uniforme de la pequeña pieza de material. El otro término es la parte antisimétrica de$\sigma$y representa una rotación de la pequeña pieza de material alrededor de su centro de masa. Para mostrar que$\sigma$debe ser simétrico en un punto arbitrario$\vec{r}$Primero movemos el origen a$\vec{r}$y luego encontrar la expresión para$\dot{\ell}_i$, que debe ser zreo ya que el objeto está en equilibrio. Encontramos$0 = \dot{\ell}_i = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj}$donde el$\vec{r} \times \vec{f}$se eliminó el término porque$\vec{r}$es cero Así encontramos que la parte antisimétrica de$\sigma$debe ser 0

En cuanto a la simetría: si el tensor de tensión no fuera simétrico, habría un par neto sobre el objeto y este giraría. Para una explicación ver la imagen de abajo. Los componentes$\sigma_{ij}$representan las fuerzas cortantes en el$i$la cara en el$j$ª dirección:

Dado que el tensor de tensión describe objetos en equilibrio, el objeto no gira (es decir, el momento de torsión neto es cero; esta es la "parte de conservación del momento angular"), por lo que$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$.

Una cosa importante para recordar es que existe la suposición de que no hay fuerza que actúe sobre la mayor parte del objeto que sea capaz de ejercer un par neto (es decir, intercambiar momento angular).

Esta idea cambia cuando piensas en algo como la interacción entre la materia y el campo electromagnético. Aunque puede adaptar la imagen de arriba para mostrar que el tensor de tensión completo de todo el sistema debe ser simétrico, no es necesario que el tensor de tensión de su parte también sea simétrico.