Fuerza de tensión: comprensión del tensor de tensión de Cauchy

como demonios.....? Una forma posible de verlo es así, consideremos una pequeña longitud de cubo$l$, entonces la fuerza de tensión en el$i$la dirección que actúa sobre$j$el elemento de superficie es$-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)*dA$dónde$dA=l^2$. la fuerza en el$i$La dirección que actúa sobre el otro elemento de superficie paralelo al primero es$\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)*dA$, por lo que la fuerza de tensión total que actúa en el$i$la dirección es

$$(\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k))*dA$$ Ahora divide por el elemento de volumen$dV=dx_idx_jdx_k$y considerar$dA=dx_idx_k$para obtener $$f_i^{(j)}=\frac{\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)}{dx_j}=\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial x_j}$$ Entonces la fuerza total por unidad de volumen en el$i$la dirección está dada por la ecuación deseada

Tengo 7 años de retraso, pero responderé de todos modos con la esperanza de ser útil para alguien más.

Nota: No usaré barra para escalares, una barra para vectores (sombrero para versores) y dos barras para tensores (por brevedad, cuando diga "tensor" siempre me referiré a "tensor de rango 2", pero por supuesto escalares y los vectores también son tensores).

Introducción

La conservación de la cantidad de movimiento de un fluido genérico (no importa si es compresible, viscoso, etc.) se expresa mediante la ecuación de Cauchy:

$$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} = \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \tag{1} \end{equation}$$ ¡Un poco aterrador! Pero si quieres invertir tiempo y energía en estudiar lo que escribo, te explicaré bien el significado de cada término, y por qué esta ecuación representa la conservación de la cantidad de movimiento en un continuo. Vale la pena estudiar la ecuación de Cauchy, porque es el punto de partida para llegar a la ecuación de Euler (no me pregunten cómo es que Euler murió antes de que naciera Cauchy) y la ecuación de Navier-Stokes (esta es definida por Cengel- Cimbala como la piedra angular de la mecánica de fluidos, y el estudio de sus soluciones es uno de los siete llamados "problemas del milenio").$\rho$y$\bar{v}$son densidad y velocidad, otros términos se definirán en las siguientes secciones.

Definición 1: tensor de tensión$\bar{\bar{\sigma}}$

El primer problema es encontrar una manera de describir matemáticamente las fuerzas ejercidas dentro del continuo. La idea es suponer que para cada superficie imaginaria infinitesimal$d\bar{A}$dentro del continuo existe un campo tensorial de rango 2$\bar{\bar{\sigma}}$tal que$\bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A}$es la fuerza$d\bar{F}$que el lado "superior" del continuo (el que contiene el diminuto vector$d\bar{A}$) ejerce en el otro lado. Si es la primera vez que tiene que ver con el tensor de tensión, puede encontrar un poco de repulsión por este objeto abstracto: después de todo, generalmente hablamos de fuerzas ejercidas entre diferentes cuerpos, mientras que aquí tenemos una superficie diminuta en el continuo, y esta superficie no divide el cuerpo en dos partes. Pero si piensas por un momento verás que esto no es un problema: no puedes cortar dentro de la pulpa una pequeña superficie y medir las fuerzas que actúan entre los dos lados, pero esto no significa que las fuerzas dentro del continuo no sean En el presente, existen y esta es la manera razonable de describirlos. Pero realmente lo es? Es decir, otra perplejidad podría ser esta: ¿quién asegura que la ley

$$\begin{equation} d\bar{F} = \bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A} \tag{2} \end{equation}$$ describir correctamente la realidad? Bueno... como sucede a menudo en la física, probamos con la hipótesis más simple (ya menudo la naturaleza nos ayuda porque la hipótesis más simple funciona).$d\bar{F}$es una función de$d\bar{A}$(y suponemos que es proporcional a$dA=|d\bar{A}|$), y una dependencia como$d\bar{F} = k d\bar{A}$se excluye porque, como puede adivinar (piense en una torsión) y como veremos más adelante, en general$d\bar{F}$y$d\bar{A}$puede tener diferentes direcciones. Entonces, una ley lineal como (2) es la más simple que podemos usar. No puedo probar la existencia del tensor de tensión, simplemente supondré que (2) funciona. A posteriori, podemos justificar (2) observando que, con otras hipótesis, conduce a la ecuación de Navier-Stokes, que tiene algunas confirmaciones experimentales.

Simetría del tensor de tensión

Nosotros lo consideraremos$\bar{\bar{\sigma}}$simétrica porque aprovecharemos la ecuación de Cauchy para encontrar la ecuación de Euler y la ecuación de Navier-Stokes, y en estos contextos los tensores de tensión son simétricos por construcción. Así que no tenemos ningún problema y podemos explotar el teorema de la divergencia extendida (ver más abajo). De todos modos en los libros leí que la simetría tiene un origen más profundo y que se puede hacer una demostración general. Para ser honesto, no entendí estas pruebas porque funcionan explotando el equilibrio rotacional, sin justificarlo, pero no tenemos necesidad de profundizar aquí si nuestros objetivos finales son la ecuación de Cauchy, la ecuación de Euler y la ecuación de Navier-Stokes.

En resumen, la simetría del tensor de tensión es esencial para escribir la ecuación de Cauchy y en su aplicación (en la que se explota el teorema de la divergencia demasiado extendido), pero esto no es un gran problema para nosotros: en realidad siempre manejaremos tensores de tensión simétricos, por lo que nuestras consideraciones acerca de estos problemas deténgase aquí.

Definición 2: vector$\bar{f}$

$\bar{f}$es un vector tal que multiplicado por la densidad$\rho$da la densidad de las fuerzas del cuerpo (fuerzas que actúan a través del volumen del cuerpo, en contraste con las fuerzas de contacto)

$$\begin{equation} \rho \bar{f} = \frac{d\bar{F}_{body}}{dV} \tag{3} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que$\bar{g}\rho = \bar{g}\frac{dm}{dV}=\frac{\bar{g}dm}{dV}=\frac{d\bar{F}_{grav}}{dV}$dónde$d\bar{F}_{grav}$es la fuerza ejercida por la gravedad sobre la porción de fluido considerada: típicamente la fuerza del cuerpo se debe a la gravedad y podemos identificar$\bar{f}$con campo gravitatorio. Esto es lo mejor que puedes hacer ahora, no distraerte con cosas que no son esenciales aquí (de todos modos, seguiré usando una forma más general$\bar{f}$símbolo: las fuerzas del cuerpo también pueden tener origen electromagnético, o deberse a que no estamos en un sistema inercial).

Definición 3: flujo de masa y flujo de cantidad de movimiento$\bar{\bar{F}}$

Como podemos definir un campo vectorial$\bar{J}$(probablemente el lector ya esté familiarizado con él) que describe el flujo de masa, es decir, definido de manera que

$$\begin{equation} \bar{J} \cdot d\bar{A} = \frac{dm}{dt} \qquad \textrm{($dm$ = mass through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{4} \end{equation}$$ Del mismo modo, podemos definir un campo tensorial$\bar{\bar{F}}$(menos conocido) que describe el flujo de cantidad de movimiento, es decir, definido de una manera que $$\begin{equation} \bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A} = \frac{d\bar{p}}{dt} \qquad \textrm{($d\bar{p}$ = momentum through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{5} \end{equation}$$ A diferencia de lo que se hizo con el tensor de tensión, puedo probar la existencia de$\bar{\bar{F}}$encontrarlo, lo haré más tarde.

prueba de que$\bar{J}=\rho\bar{v}$

El volumen de líquido que pasa$d\bar{A}$a tiempo$dt$es (si$d\bar{A}$es pequeño e ignora volúmenes infinitesimales de orden superior) el producto de$v dt$veces la superficie sombreada en la figura, es decir$dA \cos \theta$dónde$\theta$es el ángulo entre$\bar{v}$y$d\bar{A}$.

Concluimos que la masa a través de$d\bar{A}$a tiempo$dt$es,$dm = \rho v dA \cos \theta dt = \rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. Observando (4) se termina la prueba.

Intermedio: algunas convenciones

Para continuar, es mejor introducir algunas convenciones y notaciones. En coordenadas cartesianas el producto exterior entre dos vectores es por definición el tensor

$$\begin{equation}\tag{6} \bar{A} \otimes \bar{B} = \begin{pmatrix} A_x B_x & A_x B_y & A_x B_z \\ A_y B_x & A_y B_y & A_y B_z \\ A_z B_x & A_z B_y & A_z B_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Agrego que es conveniente, al hacer cálculos, escribir vectores en su forma "natural" como columnas, y que el producto interior (el producto escalar habitual) y el producto exterior pueden verse de manera rentable como un producto matricial tal que

• en el producto interno transponemos término primer término

• en el producto exterior transponemos el segundo término

No puedes protestar, estas son definiciones, esta es la gramática con la que escribiré las ecuaciones. Tenga en cuenta que (6) se puede ver como$\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_x & B_y & B_z \end{pmatrix}$, y puede ver fácilmente por qué la convención funciona con el producto interno (es decir, punto). Siempre manejaremos tensores simétricos (su representación será una matriz simétrica) por lo que la transposición de tensores puede ignorarse en lo que sigue (pero la transposición de vectores es importante).

prueba de que$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$

Consideremos el$\bar{J}=\rho\bar{v}$prueba. Como se ve, la masa a través de$d\bar{A}$a tiempo$dt$es$\rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. multiplicando por$\bar{v}$encuentro impulso$d\bar{p} = \rho (\bar{v}\cdot d\bar{A}) dt \bar{v}$. Observando (5) y nuestra tesis$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$, vemos que para terminar la prueba tenemos que probar que

$$\begin{equation} (\bar{v} \cdot d \bar{A}) \bar{v} = (\bar{v} \otimes \bar{v}) \cdot d\bar{A} \end{equation}$$ es decir $$\begin{equation} \left[ \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x v_x & v_x v_y & v_x v_z \\ v_y v_x & v_y v_y & v_y v_z \\ v_z v_x & v_z v_y & v_z v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Puedes centrarte, por ejemplo, en el$x$componente y compruebe que se trata de una identidad.

Teorema de la divergencia extendida

En todos lados en libros, sitios, YouTube, etc. hablan hasta la saciedad sobre el teorema de la divergencia ordinaria, pero casi nadie habla sobre el extendido, que es casi igualmente importante. Lo encontré este verano en el libro de Cengel-Cimbala (a quien le robé el nombre, solía llamarlo "teorema de la divergencia alternativa"), y me parece extraño que no se le dé el protagonismo adecuado que debería tener en la literatura. Si está interesado, encontrará una prueba en mi respuesta de Stack Exchange a "¿Cómo el campo eléctrico o magnético contiene impulso"? El teorema establece que dado un campo tensorial simétrico$\bar{\bar{M}}$definido dentro de un volumen$V$delimitado por una superficie$S$, tenemos (nótese que en ambos lados tenemos vectores)

$$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot \bar{\bar{M}}) d V = \oint_S \bar{\bar{M}} \cdot d \bar{A} \tag{7} \end{equation}$$

Demostración de la ecuación de Cauchy

Consideremos una porción de fluido$V$(no necesariamente pequeño). La fuerza neta ejercida sobre él por el fluido que lo rodea es$\bar{F}_{net} = \oint_S d \bar{F}_{sup}$dónde$S$es la superficie que delimita$V$y$d\bar{F}_{sup}$son fuerzas que actúan sobre una superficie infinitesimal que hacen$S$. Explotando la definición de tensor de tensión dada anteriormente, escribimos$\bar{F}_{net} = \oint_S \bar{\bar{\sigma}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} dV$, donde exploté (7) (como se dijo, usaré solo el tensor de estrés simétrico, así que puedo usarlo). Tenga en cuenta que$\nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}}$es una notación corta para

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \end{equation}$$ $\rho \bar{f} dV$es la fuerza del cuerpo (no de contacto) que actúa sobre el volumen elemental, por lo que la suma de las fuerzas del cuerpo está dada por$\int_V \rho \bar{f} dV$. Concluimos que la fuerza total sobre$V$se puede escribir de esta manera: $$\begin{equation} \int_V ( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f}) dV \end{equation}$$ debe ser igual a$\frac{d\bar{p}}{dt}$, que tiene dos términos. Por un lado, evidentemente$\rho \bar{v}$es la densidad del impulso, por lo que tenemos un término$\frac{d}{dt} \int_V \rho \bar{v} dV = \int_V \frac{\partial(\rho \bar{v})}{\partial t} dV$. Por otro lado, tenemos que tener en cuenta el impulso que, en el intervalo$t \to t + dt$, atraviesa la superficie que envuelve el volumen. eso lo hemos visto$\frac{d\bar{p}}{dt} =\bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A}$(por definición con flujo de impulso$\bar{\bar{F}}$), entonces$\frac{d\bar{p}}{dt} = \int_S \bar{\bar{F}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{F}} dV$, donde explotamos nuevamente (7) (el tensor$\rho \bar{v} \otimes \bar{v}$es evidentemente simétrico, mire la definición de producto exterior anterior). Poniendo todo junto podemos escribir$\int_V \left( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} - \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} - \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \right) dV=0$. La ecuación debe ser verdadera para cada$V$por lo que el integrando es cero y se demuestra la ecuación de Cauchy.

Derivado material

Definamos la derivada material como el operador (el símbolo$\otimes$se explica arriba: no se preocupe demasiado por eso, ahora simplemente tiene que manejarlo como un operador bien definido para tener ecuaciones más cortas, aprenda lo que hace )

$$\begin{equation} \frac{D}{Dt} = \frac{\partial }{\partial t} + \bar{v} \cdot \nabla \otimes \tag{8} \end{equation}$$ Por lo general, símbolo$\otimes$se omite en los derivados materiales, pero creo que es mejor escribirlo explícitamente para ser consistente con la convención presentada antes y enfatizar que en$\nabla \otimes \bar{v}$la columna$\bar{v}$debe transponerse para obtener un tensor de rango 2. Habría muchas cosas que decir sobre la derivada material, que es un puente entre la vista lagrangiana y la vista euleriana en la descripción de fluidos, y eso puede explotarse para probar la ecuación de Cauchy usando directamente la segunda ley de Newton, pero no puedo transformar una respuesta en un libro, y si su propósito es escribir la ecuación de Cauchy de una manera más compacta, puede tomar la derivada material como una definición conveniente para escribir fórmulas más cortas.

Tenga en cuenta que con las reglas sobre el producto externo escritas anteriormente, y recordando que$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right)$, tenemos eso

$$\begin{equation} \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} = \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{ \partial v_x}{ \partial x} & \frac{ \partial v_y}{ \partial x} & \frac{ \partial v_z}{ \partial x} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial y} & \frac{ \partial v_y}{ \partial y} & \frac{ \partial v_z}{ \partial y} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial z} & \frac{ \partial v_y}{ \partial z} & \frac{ \partial v_z}{ \partial z} \end{pmatrix} \end{equation}$$ es decir, cada componente de este vector es la suma de tres términos.

Una versión más corta de la ecuación de Cauchy

Una forma alternativa más corta de escribir la ecuación de Cauchy es

$$\begin{equation} \frac{D \bar{v}}{Dt} =\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \bar{f} \tag{9} \end{equation}$$ donde exploté el material derivado escrito arriba. Usando (8) y comparando con (1), vemos que para probar que (1) y (9) son iguales debemos probar que la siguiente ecuación es una identidad $$\begin{equation} \dot{\rho} \bar{v} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} \tag{10} \end{equation}$$ Explotando la ecuación de continuidad$\dot{\rho} = - \nabla \cdot (\rho \bar{v})$podemos escribir (10) de esta manera $$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} + (\nabla \cdot (\rho \bar{v}) ) \bar{v} \end{equation}$$ Ahora considera eso$\bar{\bar{F}}$se puede ver como el producto exterior del vector$\rho \bar{v}$con vectores$\bar{v}$, por lo que para terminar el prof debemos demostrar que es verdadera la siguiente identidad $$\begin{equation} \nabla \cdot (\bar{A} \otimes \bar{B}) = \bar{A} \cdot \nabla \otimes \bar{B} + ( \nabla \cdot \bar{A} ) \bar{B} \end{equation}$$ Si ha aprendido las definiciones de operadores en el "intermedio" anterior, verificar esta identidad es largo pero no difícil, ya que puede parecer mirarlo (tenga en cuenta que en el término medio no hay paréntesis, pero resulta que el orden es indiferente ), por lo que (9) está probada.

Hagámoslo en 1D por simplicidad: consideras una porción de hilo de longitud$dL$y sección$S$, con una densidad de fuerza neta del cuerpo$f$, decir$f=\rho S g$dónde$\rho S$es la densidad de masa lineal. En$dL$, también tienes estrés del resto del hilo, que son$T_+ = \sigma_{zz} (z+dL) S$en el$z+dL$fin y$T_- = -\sigma_{zz}(z) S$en el otro extremo.

Entonces:$\rho S a_z dL = T_+ + T_- + f dL$. Dividido por$dL$y hacer que vaya a 0 para recuperar el$\partial_z \sigma_{zz}$término.

Recuerde el teorema de la divergencia de Gauss por el cual:

$$\sum_j \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}dV = \sigma_{ij}dS_j$$

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio ya no es un misterio, y la suma de las fuerzas son las fuerzas internas$F_{int,i} = f_i\text{d}V$más las fuerzas aplicadas en la superficie$F_{sup,i} = \sigma_{ij}\text{d}S_j$:

$$F_{int,i} + F_{sup,i} = \rho a_i\text{d}V = \text{d}m\ a_i$$

Para comprender por qué las componentes del tensor de tensiones pueden entenderse como las fuerzas en la superficie, solo es necesario reflexionar sobre esta representación:

Artículo de Wikipedia sobre el estrés de Cauchy .