¿Cómo se reflejan las simetrías de gμνgμνg_{\mu\nu} en las de TμνTμνT_{\mu\nu}?

Question

¿Cómo se reflejan las simetrías de gμνgμνg_{\mu\nu} en las de TμνTμνT_{\mu\nu}?

SRS

Para un universo homogéneo e isotrópico , la métrica del espacio-tiempo $ds^2$ viene dada por la forma FRW en coordenadas comovivas :

d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (t) [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})] .

$ds^2=dt^2-a^2(t)\Big[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\Big].$ Determina el LHS de la ecuación de campo de Einstein.

En el libro de Cosmología de Kolb y Turner, se dice que para ser compatible con las simetrías de la métrica $ds^2$ , el tensor tensión-energía $T_{\mu\nu}$ debe ser diagonal y por isotropía, las componentes espaciales deben ser iguales.

Preguntas

¿Cómo puedo ver que las simetrías de $g_{\mu\nu}$ debe estar presente en el de $T_{\mu\nu}$ ? No es obvio para mí.
¿Cómo dictan las simetrías que el tensor $T_{\mu\nu}$ es diagonal? Todo lo que sé es que si un tensor cartesiano $T_{ij}$ es invariante bajo rotación satisfará
$T_{i j}^{'} = R_{i k} T_{k yo} (R^{- 1})_{yo j} = T_{i j}$ $T^\prime_{ij}=R_{ik}T_{kl}(R^{-1})_{lj}=T_{ij}$ dónde $R$ es el $3\times 3$ matriz de rotación.

Vanguardia

Recordar que

T_{μ ν} \sim \frac{δ S}{δ g^{μ ν}}

$T_{\mu \nu} \sim \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$

SRS

@Avantgarde Buen punto.

Respuestas (1)

¿Cómo se reflejan las simetrías de gμνgμνg_{\mu\nu} en las de TμνTμνT_{\mu\nu}?

Recordar que $T_{\mu \nu} \sim \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$

AVS · Answer 1

Por medio de las ecuaciones de campo de Einstein $T_{\mu \nu}$ podría expresarse a través de cantidades geométricas, a saber, el tensor de Einstein, por lo que debe tener las mismas simetrías que el tensor de Einstein o Ricci.

La métrica FLRW posee un gran grupo de isometrías que es una de $SO(4)$ , $ISO(3)$ o $SO(3,1)$ por los valores de $k=1,0,-1$ . Las órbitas de esos grupos son rebanadas $t=\rm const$ . Bajo esas simetrías $R_{00}$ (y por lo tanto $T_{00}$ ) debe ser un escalar constante, $R_{0i}$ (y $T_{0i}$ ) debe ser un campo de 3 vectores invariante y $R_{ij}$ ( $T_{ij}$ ) debe ser un campo de 3 tensores de rango 2 simétrico invariante.

No hay campos de 3 vectores invariantes bajo isometrías que incluyen $SO(3)$ rotaciones (ya que rotar un vector distinto de cero alrededor de un eje que no es paralelo a él lo cambiaría), entonces $T_{0i}\equiv 0$ . Y el tensor simétrico invariante $T_{ij}$ debe ser proporcional a la métrica 3 (si no lo es, entonces en un punto dado hay (al menos) un vector propio con valor propio diferente del resto y por lo tanto un $SO(3)$ la rotación que cambia este vector propio también alteraría el tensor).

La estructura del tensor tensión-energía podría simplificarse aún más si lo escribimos con un índice superior y otro inferior (ya que $T^i_j\sim \delta ^i_j$ ):

T_{v}^{m} = d i a gramo (A, B, B, B),

$T^{\mu}_{\nu}=\mathrm{diag}(A,B,B,B),$ dónde

A

$A$ y

B

$B$ solo puede depender del tiempo

t

$t$ .

¿Cómo se reflejan las simetrías de gμνgμνg_{\mu\nu} en las de TμνTμνT_{\mu\nu}?

SRS

Vanguardia

SRS

Respuestas (1)

AVS

¿La isotropía implica homogeneidad?

Isotropía de la métrica de 3 espacios y espacio-tiempo

Tensor de Einstein en las ecuaciones de Friedmann: ¿dónde está el c2c2c^2 que falta?

Forma canónica de constantes de estructura y tríada mutuamente ortogonal sobre las órbitas de las cosmologías de Bianchi

Contraejemplo de la definición de simetría esférica en la relatividad general

¿Calcular el tensor métrico a partir de sus vectores Killing?

Simetría del tensor de tensión de Cauchy 3×33×33\times 3 [duplicado]

Dos observadores de Robertson-Walker, ¿a qué hora se recibirá una señal luminosa?

Demostrar que el valor de la constante cosmológica es igual a la densidad de energía del vacío

Definición de ''espaciotiempos estáticos'' de vectores Killing