Origen de la propiedad de simetría mayor del tensor de elasticidad

Debes comenzar con la densidad de energía de deformación.$\psi$, luego define:

y luego definir

El resto de mi respuesta se tratará de explicar por qué tienes que hacerlo de esa manera. En primer lugar, es físico, realmente hay energía asociada con la tensión, y si no la hubiera, no habría estrés. En segundo lugar, es lineal exactamente porque estamos considerando los cambios de energía debidos a pequeñas deformaciones.

Pero volvamos a las simetrías menores. Nosotros necesitamos$C_{ijkl}=C_{jikl}$porque de otra manera$\sigma_{ij}\neq\sigma_{ji}$(y luego obtenemos velocidades angulares arbitrariamente grandes, por lo tanto no físicas, para regiones cada vez más pequeñas). Pero la otra simetría menor no es necesaria. Si alguien te entregó un tensor aleatorio de rango cuatro, llamémoslo$B_{ijkl}$, y lo llamamos tensor elástico y no tenía la segunda simetría menor, puedes definir$C_{ijkl}=(B_{ijkl}+B_{ijlk})/2$ $D_{ijkl}=(B_{ijkl}-B_{ijlk})/2$y luego$B=C+D$pero cuando D se contrae con un tensor simétrico de rango dos (como el tensor de deformación) da cero. Entonces, la parte del tensor de rango cuatro sin esa segunda simetría menor simplemente no contribuye, como actor no hace nada (cuando crees que todo lo que hace la elasticidad es darte estrés por tensión). Entonces, también podría asumir que su tensor tiene ambas simetrías menores porque actúa como si tuviera la segunda ($B$y$C$actuar de la misma en tensores simétricos) y tiene que tener el primero.

¿Lo mencioné para ser pedante? No, lo mencioné porque sucede lo mismo si contraes el tensor de elasticidad con una combinación simétrica de rango cuatro del tensor de deformación. La parte del tensor de elasticidad sin mayor simetría no contribuye a la densidad de energía de deformación. Entonces, un tensor aleatorio necesita que la primera simetría menor sea física. Pero también podría asumir que tiene la segunda simetría menor, ya que no afecta la relación tensión-deformación. Y también podría asumir que tiene la mayor simetría porque la parte que no la tiene no contribuirá a la densidad de energía de tensión.

Pero es la densidad de energía de tensión lo que es físico, y cómo cambia es lo que es la elasticidad. Entonces, en realidad no está derivando estas simetrías tanto como diciendo que solo las simétricas generan las cosas físicas que desea, energía cuando se le aplica tensión. Y una derivación real debería comenzar con la densidad de energía de deformación y la deformación, y luego simplemente definir la elasticidad a partir de eso.

Desde$\epsilon$es un tensor simétrico, tiene 6 componentes independientes que lo determinan. Por lo tanto, use un índice múltiple$I\in\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 3\}$para denotarlos. La densidad de energía de deformación entonces se convierte en (quizás hay que tener cuidado con los términos "diagonales" aquí para obtener los coeficientes correctos)

Lo siguiente es básicamente lo que dice Ashcroft/Mermin al respecto.

La idea es la siguiente:

en aproximación armónica un desplazamiento relativo$u$da como resultado una energía

$U=- \frac 1 4 (\vec{ u }(\vec R) - \vec{ u }(\vec R ')) \mathbf{D}(\vec{ u }(\vec R ') - \vec{ u }(\vec R))$

el tensor$\mathbf D$ya tiene simetría natural$D_{\mu\nu}=D_{\nu\mu}$, lo que significa que la interacción es simétrica. aproximando

$\vec{ u }(\vec R ') \approx \vec{ u }(\vec R )+ (\vec R -\vec R ')\nabla \vec u$

uno obtiene

$U= \frac 1 2 \frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}R_\sigma D_{\mu\nu} R_\tau \frac{\partial u_\nu}{\partial x_\tau}=\frac 1 2 \frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}E_{\sigma\mu\tau\nu} \frac{\partial u_\nu}{\partial x_\tau}$

Entonces se afirma que la energía armónica no debe verse afectada por una rotación. Esto requiere que la energía dependa de las derivadas de la forma

$\epsilon_{\sigma\mu}=\frac 1 2(\frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}+\frac{\partial u_\sigma}{\partial x_\mu})$

Esto es algo así como un invariante de Lifschitz, supongo. No debería ser demasiado difícil probar eso.

Entonces se afirma que la energía se puede escribir en la forma

22.78)$U=\frac 1 2 \epsilon_{\sigma\mu} c_{\sigma\mu\tau\nu} \epsilon_{\tau\nu}$

con

22.79)$c_{\sigma\mu\tau\nu} = \frac 1 8 (E_{\sigma\mu\tau\nu}+E_{\mu\sigma\tau\nu}+E_{\sigma\mu\nu\tau}+E_{\mu\sigma\nu\tau})$

Mirando la definición de$E_{\sigma\mu\tau\nu}$esto proporciona la simetría de interés. Entonces se origina en el requisito de que la energía sea invariable con la rotación.

Sin embargo, en este momento tengo algunas dificultades con el último paso (que es el paso 22.78 a 22.79 en Ashcroft/Mermin, de ahí los números) ya que creo que produce algunos derivados que no están presentes en la forma original. Si alguien puede explicar fácilmente por qué el formulario 22.78 requiere$c$para ser de la forma 22.79, me encantaría que me lo explicaran.