Tipo/Valencia del tensor de tensión

Hay una construcción en espacios de productos internos reales de dimensión finita que relaciona tensores de rango 2 y operadores lineales que creo que responde a su pregunta. La construcción esencialmente muestra cómo obtener un tensor de rango dos a partir de un operador lineal. Desde$\mathbb R^3$con el producto interno estándar es un espacio de producto interno real, y dado que la construcción general no es tan difícil, también podríamos ser más generales.

Construcción del espacio interior del producto.

Sea un espacio de producto interno real de dimensión finita$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$dado, entonces afirmamos que hay una manera de asociar un tensor de tipo$(0,2)$a toda transformación lineal en$V$. Además, si dejamos$T^k_l(V)$denote el espacio vectorial de todos los tensores de tipo$(k,l)$en$V$, entonces se tienen los siguientes isomorfismos:

$$\begin{align} T^2_0(V) \cong T^1_1(V) \cong T^0_2(V) \end{align}$$ De hecho, en notación de índice, los isomorfismos escritos aquí solo corresponden a índices ascendentes y descendentes apropiados. Combinando estas observaciones, vemos que cada operador lineal en $V$da lugar a tres tensores de tipos $(2,0)$, $(1,1)$, y $(0,2)$, y todos son esencialmente el mismo objeto. Aquí está el meollo de la forma en que asocia un tensor de tipo $(0,2)$a un operador lineal. Para cada operador lineal $L$en $V$, podemos definir un mapeo $T:V\times V\to \mathbb R$como sigue: $$\begin{align} T_L(v,w) = \langle v,L(w)\rangle \end{align}$$ afirmo que $T$es un tipo $(0,2)$tensor. Recuerda que un tipo $(k,l)$tensor $S$es una función multilineal $S:(V^*)^k\times V^l\to\mathbb R$. Por lo tanto, basta demostrar que la función $T_L$definido anteriormente es bilineal. La linealidad en su primer argumento se sigue inmediatamente de la linealidad en el primer argumento del producto interior, mientras que la linealidad en su segundo argumento se sigue de la linealidad en el segundo argumento del producto interior combinado con la linealidad de $L$.

Para ver que esto coincide con la notación de índice que solemos usar como físicos, dejemos$\{e_1,e_2,\dots, e_n\}$denote una base ortonormal para$V$, entonces las componentes del tensor$T_L$son

$$\begin{align} (T_L)_{ij} = T_L(e_i, e_j) = \langle e_i,T(e_j)\rangle = \langle e_i,L_{kj}e_k\rangle = L_{kj}\delta_{ik} = L_{ij} \end{align}$$ Vemos que las componentes del tensor que definimos corresponden precisamente a las de la transformación lineal.

Póngase en contacto con su notación.

Si denotamos el operador lineal al que usted se refiere como tensor de tensión con la letra$L$, y si definimos el mapa bilineal correspondiente$T_L$, como arriba, luego usando su notación para los vectores, la ecuación que usé para definir$T_L$se escribiría de la siguiente manera:

$$\begin{align} T_L(\mathbf m, \mathbf n) = \mathbf m^t L(\mathbf n) \end{align}$$ El lado derecho es el mismo que $\langle \mathbf m, L(\mathbf n)\rangle$ya que el producto interno estándar en $\mathbb R^3$simplemente está dada por $$\begin{align} \langle \mathbf v, \mathbf w\rangle = \mathbf v^t\mathbf w \end{align}$$ Por cierto, a la luz de este hecho, observe que la transposición asocia efectivamente un vector dual a cada vector en $\mathbb R^3$.