Tensor de energía de estrés en lenguaje de formas diferenciales

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Tensor de energía de estrés en lenguaje de formas diferenciales

Física
tensor-métrico
cálculo tensorial
mecánica de Medios Continuos
geometría diferencial
tensión-energía-momentum-tensor

tiburón rompecabezas

La motivación para esto es que cantidades como la corriente eléctrica $J$ en las ecuaciones de movimiento de Maxwell se puede expresar como una forma diferencial de 3 , de modo que la ecuación de continuidad se puede escribir como

d j = 0

$dJ=0$

¡Lo cual es realmente bueno porque todo se puede hacer sin definir un tensor métrico!

Ahora, el tensor tensión-energía tiene una ecuación de continuidad similar, pero generalmente se representa como un tensor 2 simétrico. entonces, obviamente, no puede representarse como una forma 3, pero ¿puede de alguna manera representarse potencialmente en el lenguaje de formas diferenciales para que no tenga que definirse un tensor métrico?

AccidentalFourierTransformar

Los derivados exteriores son gratuitos: no necesita ninguna estructura adicional para definirlos. Los derivados covariantes, por otro lado, necesitan una conexión, que puede o no ser compatible con la métrica. Si no es así, ni siquiera necesita una métrica para definirlo. Pero si tiene una métrica, entonces la conexión compatible con la métrica es de hecho única, por lo que es especial en este sentido.

parker

@AccidentalFourierTransform Corrección menor: la conexión compatible con métricas sin torsión es única (Levi-Civita). Creo que puedes tener múltiples conexiones compatibles con métricas torsivas. Pero son claramente menos naturales, por lo que su punto se mantiene.

AccidentalFourierTransformar

@tparker, ¿a quién le importa la torsión de todos modos? :-PAG

Toffomat

Con respecto a la necesidad de una métrica: supongo que podría argumentar que el vector actual es el objeto básico, y luego su forma actual de tres implica una estrella de Hodge (es decir, la métrica). Por otra parte, podría considerar que la forma de tres es el objeto básico y aplicar el dual de Hodge al revés...

usuario4552

@tparker: Gracias por la corrección. Borré mi comentario.

Respuestas (3)

Tensor de energía de estrés en lenguaje de formas diferenciales

Los derivados exteriores son gratuitos: no necesita ninguna estructura adicional para definirlos. Los derivados covariantes, por otro lado, necesitan una conexión, que puede o no ser compatible con la métrica. Si no es así, ni siquiera necesita una métrica para definirlo. Pero si tiene una métrica, entonces la conexión compatible con la métrica es de hecho única, por lo que es especial en este sentido.
@AccidentalFourierTransform Corrección menor: la conexión compatible con métricas sin torsión es única (Levi-Civita). Creo que puedes tener múltiples conexiones compatibles con métricas torsivas. Pero son claramente menos naturales, por lo que su punto se mantiene.
@tparker, ¿a quién le importa la torsión de todos modos? :-PAG
Con respecto a la necesidad de una métrica: supongo que podría argumentar que el vector actual es el objeto básico, y luego su forma actual de tres implica una estrella de Hodge (es decir, la métrica). Por otra parte, podría considerar que la forma de tres es el objeto básico y aplicar el dual de Hodge al revés...

parker · Answer 1

Buena pregunta. Sospecho que la respuesta es no, porque el tensor tensión-energía (Hilbert) se define como

T_{m v} := - 2 \frac{d L}{d {gramo}^{m v}} + {gramo}_{m v} L,

$T_{\mu \nu} := -2 \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu \nu} \mathcal{L},$ lo que me sugiere que puede depender fundamentalmente de la estructura métrica del espacio-tiempo.

¿Está seguro de que su segundo mandato debería estar allí? La definición estándar de $T_{\mu\nu}$ es simplemente la derivada del Lagrangiano (materia) con respecto a la métrica, sin el término diagonal. Tal vez sea una cuestión de convenciones y estés usando una con la que no estoy familiarizado.
@AccidentalFourierTransform Puede combinar los dos términos en una sola derivada poniendo un $\sqrt{g}$ dentro de la derivada: $-2/\sqrt{g}\ \partial(\sqrt{g} \mathcal{L}) / \partial g^{\mu\nu}$ . Hacer la regla del producto elimina el $\sqrt{g}$ 's pero conduce a los dos términos en mi respuesta.
Ah, claro. Básicamente se reduce a la redefinición $\mathscr L=\sqrt{g}\mathcal L$ .

Bence Racskó · Answer 2

Si invita a "formas diferenciales con valores de paquete de vectores", puede definir

T^{m} = T_{v}^{m} d X^{v}

$T^\mu=T^\mu_{\ \nu}dx^\nu$ como una "forma de 1 valor de campo vectorial", entonces tiene

d^{\nabla} ⋆ T^{m} \sim \nabla_{v} T^{m v} .

$d^\nabla\star T^\mu\sim\nabla_\nu T^{\mu\nu}.$

Sin embargo, la métrica es necesaria tanto para la definición de $T$ y para tomar la derivada exterior covariante $d^\nabla$ y tomar el doble de Hodge.

Tenga en cuenta que la corriente $j$ en su ejemplo, es naturalmente un campo vectorial, ya que la corriente se puede obtener mediante

j^{m} = \frac{d S_{metro}}{d A_{m}},

$j^\mu=\frac{\delta S_m}{\delta A_\mu},$ dónde

S_{m}

$S_m$ es alguna "materia" lagrangiana que contiene

A

$A$ (es la interacción campo-partícula básicamente lagrangiana). Así que para obtener la forma 1

j

$j$ , necesita bajarlo ( necesita la métrica ), y luego obtener la forma actual de 3

J

$J$ , necesitas tomar el doble de Hodge

J = ⋆ j

$J=\star j$ ( necesita la métrica ).

Por lo tanto, mientras que la ecuación de conservación

d j = 0

$dJ=0$ parece independiente de la métrica, en realidad no lo es.

¿No es la primera mitad de tu respuesta un poco trivial, porque puedes pensar en cualquier tipo? $(p,q+1)$ tensor en absoluto con al menos un índice covariante como un "tipo- $(p,q)$ -valorado de una sola forma" al "seleccionar" un índice covariante?
Además, no estoy de acuerdo con la segunda mitad de tu respuesta; Creo que las tres formas $J$ es más "natural" para expresar la densidad de corriente que el vector $j$ . La densidad de corriente se define naturalmente como el flujo de carga eléctrica a través de una superficie espacial a lo largo del tiempo, es decir, se integra sobre una hipersuperficie similar al tiempo para obtener una carga total. Esto es natural para una forma de tres, no para un vector. Además, el término de acoplamiento $A_\mu j^\mu$ en el lagrangiano se puede expresar en términos de $J$ como $\star(A \wedge J)$ . Entonces, la ecuación de continuidad realmente es independiente de la métrica.
Pensándolo bien, ni siquiera necesitas la estrella de Hodge, porque dentro del marco de las formas diferenciales, la densidad lagrangiana se considera naturalmente como una $D$ -forma en lugar de un escalar.
@tparker Para responder a la primera de sus consultas, si bien puede hacer esto con cualquier campo tensorial que desee, y aquí es una especie de trampa, hay muchos casos en los que es muy natural pensar en algunos campos tensoriales como formas diferenciales. con valores en un paquete vectorial. Por ejemplo, viendo el tensor de curvatura como $\Omega^\mu_{\ \nu}=\frac{1}{2}R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}dx^\rho\wedge dx^\sigma$ es bastante natural, y de esta manera se pueden lograr simplificaciones considerables. (continuación)
@tparker Para abordar la segunda de sus consultas, supongo que eso depende de su punto de vista. Desde un punto de vista teórico formal/de campo, una corriente es una respuesta a algún tipo de simetría. En el caso de EM, la corriente de carga es la respuesta a las transformaciones de calibre, mientras que el tensor SEM es una especie de "corriente de difeomorfismo". El espacio aquí es demasiado pequeño para una discusión detallada, sin embargo, el punto es que si tiene un Lagrangiano que es completamente independiente de cualquier métrica y tiene una simetría, la corriente resultante es independiente de la métrica y también lo es su ley de conservación, pero (continuación)
@tparker ... los lagrangianos dependientes de la métrica tendrán corrientes dependientes de la métrica, cuyas leyes de conservación puede formular de una manera aparentemente independiente de la métrica, pero la métrica aparecerá en algún lugar si profundiza lo suficiente.
¿Qué quiere decir con que "la métrica aparecerá si profundiza lo suficiente"? La ley de conservación $dJ = 0$ se puede formular en una variedad suave sin métrica alguna. Entiendo que puede ser difícil responder en un comentario, pero no entiendo que usted afirma lo suficientemente bien como para convertirlo en una pregunta separada.
@tparker Bien, entonces intentemos esto. Desde un punto de vista "elemental", el 3-vector de corriente de carga es $\mathbf{j}=\rho\mathbf{v}$ , está relacionado con el campo de velocidad del continuo cargado, por lo que para convertirlo en una forma de 3, necesita una métrica. Desde el punto de vista de la teoría de campos, la corriente aparece como la derivada funcional de una interacción lagrangiana. En cualquier tratamiento suficientemente "fundamental", la interacción Lagrangiana no puede definirse sin una métrica (surgirá de un campo KG cargado o de un campo de Dirac, no de un $A\wedge J$ ) término.
Punto justo. Puede formular una teoría de tipo Chern-Simons en una variedad suave que realmente no requiere una métrica en absoluto, pero supongo que acoplarla a cualquier tipo de campo de materia con una densidad de corriente efectiva requiere introducir una métrica.
@tparker Divertido, recientemente hice 180 ° en esto (o 360 ° si eres un electrón, supongo), y ahora también considero que las corrientes de 3 formas son más naturales.

fénix87 · Answer 3

Con la ayuda de un campo vectorial Killing $\xi$ uno puede definir la forma actual de 3

j_{ξ} = ⋆ {yo}_{ξ} T

$J_\xi = \star\ \iota_\xi T$

de la cual puede tomar la derivada exterior para obtener la ley de conservación

d j_{ξ} = 0.

$\operatorname d J_\xi = 0.$

Tenga en cuenta que la métrica está oculta dentro de ambos $T$ y $\xi$ .

Solo un pequeño punto de orden, pero solo he visto el producto interior definido en formularios, y nunca he visto $T$ en forma-forma (perdón), más bien, diría que esto $\iota_\xi T$ la cantidad se denomina más correctamente contracción como la describen los físicos: la forma única $\xi^a T_{ab}$ .
Además, preferiría enfatizar que la métrica está (apenas) oculta dentro del dual de Hodge.
...y definitivamente en la noción misma de un campo de exterminio.

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