Signo de drdrdr en geodésicas de Schwarzschild

Para determinar una geodésica hay que fijar su punto inicial y su vector tangente inicial todo en$t=0$. Siempre podemos suponer$\theta_0 = \pi/2$, mientras$\phi_0$, y$r_0$son arbitrarios. Seguramente$d\theta/dt|_0=0$,$dt/dt|_0=1$, mientras$d\phi/dt|_0= \dot{\phi}_0$y$dr/dt|_{0}= \dot{r}_0$son arbitrarios.

Con estos valores se determinan los valores de$L^2$y$E^2$que, al ser constantes, pueden determinarse con datos a$t=0$. Entonces$E^2$y$L^2$son conocidos. Por lo tanto, hasta la señal, el lado derecho de

ya se sabe una vez fijadas las condiciones iniciales. A menos que$\dot{r}_0=0$, ese número tiene un signo. Este es el signo que hay que elegir en (1), ya que, por continuidad (y las funciones consideradas son$C^2$al menos) el signo no cambia alrededor$t=0$.

si asumes$\dot{r}_0=0$, el signo está determinado por las otras condiciones iniciales con un análisis más cuidadoso.