¿Cuándo llega la luz a un observador de capa en la métrica de Schwarzschild?

Question

¿Cuándo llega la luz a un observador de capa en la métrica de Schwarzschild?

trijuippi

Estoy tratando de simular la trayectoria de la luz en la métrica de Schwarzschild (como la ve un observador lejano) con fijo $\theta = \pi/2$ . Según mi fuente (capítulo 18, sección 18.5), la trayectoria se rige por:

\frac{d r}{d t} = \dot{r}

$\frac{dr}{dt} = \dot{r}$

\frac{d ϕ}{d t} = \dot{ϕ}

$\frac{d\phi}{dt} = \dot{\phi}$

\frac{d \dot{r}}{d t} = \frac{- 4 {METRO}^{2} + 2 METRO r + (r - 5 METRO) r^{3} {\dot{ϕ}}^{2}}{r^{3}}

$\frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3\dot{\phi}^2}{r^3}$

\frac{d \dot{ϕ}}{d t} = \frac{2 (- 3 METRO + r) \dot{r} \dot{ϕ}}{(2 METRO - r) r}

$\frac{d\dot{\phi}}{dt} = \frac{2(-3M+r)\dot{r}\dot{\phi}}{(2M-r)r}$

Tengo una situación en la que el observador de conchas se sienta en $(r_T, \phi_T)$ y yo sé que $r(0) = r_0$ , $\phi(0) = \phi_0$ , $r(T) = r_T$ , $\phi(T) = \phi_T$ dónde $r_0$ , $r_T$ , $\phi_0$ y $\phi_T$ son conocidos, pero $T$ es desconocido. Me parece que necesito una restricción adicional para averiguar $T$ ya que tengo 4 ecuaciones (las de arriba), pero 5 incógnitas ( $r(t), \dot{r}(t), \phi(t), \dot{\phi}(t), T$ ).

¿Necesito una restricción adicional para averiguar $T$ y ¿cuál sería esa restricción?

Respuestas (1)

¿Cuándo llega la luz a un observador de capa en la métrica de Schwarzschild?

Juan Rennie · Answer 1

La forma en que se presentan las ecuaciones parece innecesariamente oscura, ya que solo hay dos ecuaciones que importan:

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \frac{- 4 {METRO}^{2} + 2 METRO r + (r - 5 METRO) r^{3}}{r^{3}} {\dot{ϕ}}^{2}

$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3}{r^3}\,\dot{\phi}^2$

\frac{d^{2} ϕ}{d t^{2}} = \frac{2 (- 3 METRO + r)}{(2 METRO - r) r} \dot{r} \dot{ϕ}

$\frac{d^2\phi}{dt^2} = \frac{2(-3M+r)}{(2M-r)r} \, \dot{r}\dot{\phi}$

Estos provienen de la ecuación geodésica expresada usando coordenadas de tiempo .

Así que empiezas en algún conveniente $(r, \phi)$ con velocidad coordenada inicial $(\dot{r}, \dot{\phi})$ e integrar hacia adelante en el tiempo para calcular $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ y $\dot{\phi}$ en función de la coordenada de tiempo $t$ .

Puedes elegir cualquier valor inicial para $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ y $\dot{\phi}$ quieres, pero obviamente $\dot{r}$ y $\dot{\phi}$ están relacionados porque estás describiendo un haz de luz. La relación proviene de la métrica de Schwarzschild. Por un rayo de luz $ds = 0$ , y podemos tomar $\theta = \pi/2$ y $d\theta = 0$ , por lo que obtenemos:

0 = - (1 - \frac{2 METRO}{r}) d t^{2} + \frac{d r^{2}}{(1 - \frac{2 METRO}{r})} + r^{2} d ϕ^{2}

$0 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2d\phi^2$

o:

(1 - \frac{2 METRO}{r}) = \frac{{\dot{r}}^{2}}{(1 - \frac{2 METRO}{r})} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2}

$\left(1-\frac{2M}{r}\right) = \frac{\dot{r}^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2\dot{\phi}^2$

¿Cuándo llega la luz a un observador de capa en la métrica de Schwarzschild?

trijuippi

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Juan Rennie

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