Solución a Geodésicas en 2 esferas

Me han encargado encontrar trayectorias de partículas para una masa puntual que viaja a lo largo de la superficie de la esfera de 2$t=t(\tau)$,$\theta=\theta(\tau)$y$\phi=\phi(\tau)$. Mi supervisor me dio la métrica del espacio-tiempo

$ds^2 = -dt^2 +R^2(d\theta^2 +sin^2{\theta}d\phi^2)$

Estoy encontrando geodésicas temporales,$1 = -g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$.

Esto es lo que tengo hasta ahora,

$t = E\tau$,$\dot{t} = E$,$sin^2\theta\frac{d\phi}{d\tau} = \frac{k}{R}$dónde$\frac{k}{R}$es una constante adimensional. yo sustituí$\dot{\phi}$y$\dot{t}$volver al indicador de tiempo adecuado para obtener.

$\dot{\theta} = \pm\frac{1}{Rsin\theta}\sqrt{E^2sin^2\theta-k^2-sin^2\theta}$

Intenté usar la sustitución$u=cos\theta$para eliminar el$sin\theta$y espero obtener alguna expresión que pueda integrar para obtener alguna función trigonométrica inversa, sé que las geodésicas deben describir grandes círculos a lo largo de la superficie de la esfera. Pero no puedo resolver esta ecuación final. Gracias