Significado físico de la divergencia del término de velocidad convectiva

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Significado físico de la divergencia del término de velocidad convectiva

Física
velocidad
navier-stokes
campos vectoriales
dinámica de fluidos
diferenciación

kimusubi

Al tomar la divergencia del término de velocidad convectiva, obtengo lo siguiente:

\begin{aligned} \nabla \cdot [tu \cdot \nabla tu] & = \frac{\partial}{\partial X_{i}} [{tu}_{j} \frac{\partial {tu}_{i}}{\partial X_{j}}] \\ = \frac{\partial {tu}_{j}}{\partial X_{i}} \frac{\partial {tu}_{i}}{\partial X_{i}} + {tu}_{j} \frac{\partial^{2} {tu}_{i}}{\partial X_{j} \partial X_{i}} \\ = tu \cdot \nabla q + (\nabla tu) \cdot {(\nabla tu)}^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\cdot\left[\mathbf u\cdot\nabla\mathbf u\right]&=\frac{\partial}{\partial x_i}\left[u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right]\\ &=\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_i}+u_j\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_i} \\ &=\mathbf u\cdot\nabla q+\left(\nabla\mathbf u\right)\cdot\left(\nabla\mathbf u\right)^T \end{align}$ dónde

q = \nabla \cdot u

$q=\nabla\cdot\mathbf u$ .

Sé que el primer término del lado derecho representa el término convectivo para el componente de dilatación del campo de velocidad (de la descomposición de Helmholtz), pero no puedo entender el significado físico del segundo término. El gradiente de velocidad es un tensor de segundo orden, pero ¿cuál es el significado físico del producto de un tensor de segundo orden con su transpuesta? ¿Hay alguna manera de manipularlo para obtener un mejor significado físico?

tpg2114

En general, encuentro que es más fácil entender el significado de la notación de suma que de la notación de vector. También tenga en cuenta que cambió el orden de los términos de la penúltima parte de la expresión a la última parte de la expresión. Dicho esto, estoy jugando con él tratando de averiguar qué significa el término...

tpg2114

¿Bajo qué situaciones le interesa tomar la divergencia de la velocidad convectiva? ¿Hay un caso de uso aquí o una referencia que está tratando de seguir? No sé si me he encontrado con esto antes, pero parece un poco familiar de todos modos.

kimusubi

Estoy viendo la descomposición de Helmholtz de las ecuaciones de Navier Stokes. Básicamente, puede descomponer la ecuación en una parte solenoidal (vorticidad) e irrotacional (dilatación). Lo anterior es una pieza de la forma de dilatación. Con respecto a cambiar el orden, ¿realmente importa ya que es un producto de punto?

tpg2114

Desafortunadamente, mis libros sobre la turbulencia compresible que hablan sobre la división de los campos están en el laboratorio, así que no puedo buscarlos ahora, pero pensé que me resultaban familiares. Y lo que quise decir con los términos voltear: el primer término después del segundo

=

$=$ es el segundo término después del último

=

$=$ . En otras palabras,

\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = (\nabla \vec{u}) \cdot (\nabla \vec{u})^{T}

$\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = (\nabla \vec{u})\cdot(\nabla \vec{u})^T$ . Solo quería asegurarme de que todos tuvieran claro que el orden de los términos cambió del penúltimo al último paso.

honeste_vivere

¿No debería ser el último término el producto de doble punto? El primer término,

u \cdot \nabla

$\mathbf{u} \cdot \nabla$ q es un escalar (tensor de rango cero) pero actualmente el segundo término sería un tensor de rango uno. Entonces creo que debería ser

\nabla u : (\nabla u)^{T}

$\nabla \mathbf{u} \ : \ (\nabla \mathbf{u})^{T}$ , ¿bien?

honeste_vivere

Aparece este término,

\nabla u : (\nabla u)^{T}

$\nabla \mathbf{u} \ : \ (\nabla \mathbf{u})^{T}$ , corresponde al estiramiento del vórtice. Bueno, al menos eso es lo que sugiere la tesis citada por @tpg2114. Gracias, por cierto, esa tesis tiene cosas buenas.

tpg2114

@honeste_vivere Eso podría ser consistente con la idea de la disipación de la dilatación: el estiramiento del vórtice podría convertir la dilatación en vorticidad, como un término de disipación en esta ecuación y un término fuente en la ecuación de vorticidad.

kimusubi

@honeste_vivere Creo que hubo un error tipográfico cuando se convirtió a Latex: el término es du_i/dx_j*du_j/dx_i, que es un tensor de rango cero ya que no hay índices libres. Nunca tuve la oportunidad de publicar esto, pero lo interesante es que si expandes el término en coordenadas cartesianas, terminas con 3 términos cuadrados que implican una disipación en la dilatación ya que nunca pueden ser negativos, pero también terminarás con otros 3 términos que pueden o no ser negativos. Esto realmente no aclara todo, pero definitivamente muestra que hay un componente de disipación.

Respuestas (3)

Significado físico de la divergencia del término de velocidad convectiva

En general, encuentro que es más fácil entender el significado de la notación de suma que de la notación de vector. También tenga en cuenta que cambió el orden de los términos de la penúltima parte de la expresión a la última parte de la expresión. Dicho esto, estoy jugando con él tratando de averiguar qué significa el término...
¿Bajo qué situaciones le interesa tomar la divergencia de la velocidad convectiva? ¿Hay un caso de uso aquí o una referencia que está tratando de seguir? No sé si me he encontrado con esto antes, pero parece un poco familiar de todos modos.
Estoy viendo la descomposición de Helmholtz de las ecuaciones de Navier Stokes. Básicamente, puede descomponer la ecuación en una parte solenoidal (vorticidad) e irrotacional (dilatación). Lo anterior es una pieza de la forma de dilatación. Con respecto a cambiar el orden, ¿realmente importa ya que es un producto de punto?
Desafortunadamente, mis libros sobre la turbulencia compresible que hablan sobre la división de los campos están en el laboratorio, así que no puedo buscarlos ahora, pero pensé que me resultaban familiares. Y lo que quise decir con los términos voltear: el primer término después del segundo $=$ es el segundo término después del último $=$ . En otras palabras, $\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = (\nabla \vec{u})\cdot(\nabla \vec{u})^T$ . Solo quería asegurarme de que todos tuvieran claro que el orden de los términos cambió del penúltimo al último paso.
¿No debería ser el último término el producto de doble punto? El primer término, $\mathbf{u} \cdot \nabla$ q es un escalar (tensor de rango cero) pero actualmente el segundo término sería un tensor de rango uno. Entonces creo que debería ser $\nabla \mathbf{u} \ : \ (\nabla \mathbf{u})^{T}$ , ¿bien?
Aparece este término, $\nabla \mathbf{u} \ : \ (\nabla \mathbf{u})^{T}$ , corresponde al estiramiento del vórtice. Bueno, al menos eso es lo que sugiere la tesis citada por @tpg2114. Gracias, por cierto, esa tesis tiene cosas buenas.
@honeste_vivere Eso podría ser consistente con la idea de la disipación de la dilatación: el estiramiento del vórtice podría convertir la dilatación en vorticidad, como un término de disipación en esta ecuación y un término fuente en la ecuación de vorticidad.
@honeste_vivere Creo que hubo un error tipográfico cuando se convirtió a Latex: el término es du_i/dx_j*du_j/dx_i, que es un tensor de rango cero ya que no hay índices libres. Nunca tuve la oportunidad de publicar esto, pero lo interesante es que si expandes el término en coordenadas cartesianas, terminas con 3 términos cuadrados que implican una disipación en la dilatación ya que nunca pueden ser negativos, pero también terminarás con otros 3 términos que pueden o no ser negativos. Esto realmente no aclara todo, pero definitivamente muestra que hay un componente de disipación.

tpg2114 · Answer 1

El término en la ecuación es:

\frac{\partial {tu}_{i}}{\partial X_{j}} \frac{\partial {tu}_{j}}{\partial X_{i}}

$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$

Así que demos un paso atrás y pensemos qué tipos de términos pueden aparecer en las ecuaciones de conservación. Puede haber un término de producción, un término de transporte y un término de disipación. El término de transporte es el $\vec{u}\cdot\nabla q$ término que usted anotó. Cuando observa el conjunto completo de ecuaciones acopladas (ecuaciones de conservación de vorticidad y dilatación), hay algunos términos de producción y disipación que transfieren la velocidad de dilatación a vorticidad y viceversa.

Ahora, no estoy familiarizado con la descomposición aquí específicamente. Sin embargo, mirando algunas otras ecuaciones con las que estoy familiarizado (energía cinética turbulenta), me arriesgaré y diré que ese término es un término de disipación. En todas las leyes de conservación que he visto, los términos que se parecen al término en cuestión son términos de disipación; esto responde a su pregunta sobre cómo pensar en términos como este en general.

Esta hipótesis parece estar respaldada por algunos documentos que encontré y escaneé rápidamente, y esta tesis en la ecuación 2.14d que agrupa el término en cuestión en un término de disipación viscosa.

Mi voto: es una disipación de la dilatación.

Parece interesante que surja un término de disipación de los términos inerciales sin tener en cuenta las propiedades específicas del fluido como la viscosidad (es decir, sin tener en cuenta ningún tipo de transporte molecular de momento, etc. a través de las superficies del fluido). Tiene sentido simplemente considerando que los dos tensores son gradientes relativos de la velocidad entre sí, pero me gustaría profundizar más en esto.
@Kimusubi Sí, soy igual de reacio a llamarlo una disipación viscosa, pero se agrupa en esos términos. Dado que aquí estamos hablando de algo "artificial", puede ser que la convección de la dilatación resulte en una reducción de la dilatación además del transporte. En cierto sentido, esto significaría que ningún flujo puede permanecer irrotacional para siempre sin un término de producción, lo que podría creer que es plausible. Sin embargo, es ciertamente interesante pensar en ello.
Es interesante pensarlo así. Pero, ¿no desafiaría eso el teorema de persistencia de Helmholtz: en ausencia de viscosidad, el flujo irrotacional debe permanecer irrotacional (ignorando por ahora el tensor de tensión desviador)? Me refiero específicamente a donde dijiste que un flujo irrotacional no permanecería irrotacional para siempre.
@Kimusubi Eso, puede que no. Me pregunto (no estoy seguro) cómo se ve este término de disipación en un flujo irrotacional. Puede ser 0 en el caso. Entonces, tal vez este término solo sea distinto de cero cuando hay un componente rotacional en el flujo. Nuevamente, no estoy seguro y simplemente estoy especulando ya que no he trabajado antes con los campos descompuestos.
¿Podríamos describir la divergencia con respecto a un grupo de personas corriendo por un callejón y hacia un camino más ancho? ¿Se "divergen" en la transición entre el callejón angosto y el camino más ancho?
Mi intuición me dice que llamar a esto un término de disipación no tiene sentido. A lo sumo, podríamos llamar a esto un término de dispersión , tal vez, pero tengo mis dudas. Estoy familiarizado con este término como el término fuente en la ecuación de presión de Poisson para el flujo incompresible. Allí, este término asegura que el campo de presión sea tal que la derivada temporal de la divergencia de velocidad desaparezca.
Olvidé agregar, para el caso de flujo incompresible, el término aparece en la derivada temporal de la divergencia de velocidad: Tenemos $\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot tu) = - (\nabla tu) : (\nabla tu)^{T} - \frac{1}{ρ} Δ pag$ $\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf u)=-(\nabla\mathbf u):(\nabla\mathbf u)^T-\frac{1}{\rho}\Delta p$ .

Erik Jorgenfelt · Answer 2

Comenzaré disculpándome por no estar familiarizado con los detalles de este problema y la notación comúnmente utilizada. Por lo tanto, utilizaré la notación y la terminología a las que estoy acostumbrado; podemos descomponer el gradiente del campo de velocidad como

\partial_{j} {tu}_{i} = ω_{i j} + σ_{i j} + \frac{1}{3} d_{i j} θ,

$\partial_ju_i = \omega_{ij} + \sigma_{ij} + \frac{1}{3}\delta_{ij}\theta,$ dónde

ω_{i j} = \partial_{[j} u_{i]}

$\omega_{ij} = \partial_{[j}u_{i]}$ es la parte antisimétrica (vorticidad),

σ_{i j} = \partial_{(j} u_{i)} - δ_{i j} θ / 3

$\sigma_{ij} = \partial_{(j}u_{i)} - \delta_{ij}\theta/3$ es la parte simétrica y libre de trazas (cortante), y

θ = \partial_{i} u_{i}

$\theta = \partial_iu_i$ es la traza/divergencia (parámetro de expansión,

q

$q$ en su notación). Entonces el término

\partial_{i} {tu}_{j} \partial_{j} {tu}_{i} = σ^{2} + \frac{1}{3} θ^{2} - ω^{2},

$\partial_iu_j\partial_ju_i = \sigma^2 + \frac{1}{3}\theta^2 - \omega^2,$ dónde

σ^{2} = σ_{i j} σ_{i j}

$\sigma^2 = \sigma_{ij}\sigma_{ij}$ , y

ω^{2} = ω_{i j} ω_{i j}

$\omega^2 = \omega_{ij}\omega_{ij}$ .

Dado que el otro término da el cambio del parámetro de expansión a lo largo del flujo del fluido, podemos hacer la interpretación (moviendo los términos al cuadrado al otro lado de la ecuación) que el corte y la expansión distintos de cero sirven para reducir la expansión a lo largo del flujo del fluido. , mientras que la vorticidad distinta de cero sirve para aumentar la expansión a lo largo del flujo de fluido.

assaad mrad · Answer 3

Podemos encontrar el significado de este término considerando un problema más fácil, un fluido incompresible. Tomando la divergencia de la ecuación de Navier-Stokes en este caso se obtiene:

\nabla^{2} pag = - ρ (\nabla tu) \cdot {(\nabla tu)}^{T}

$\nabla^2p=-\rho\left(\nabla\mathbf u\right)\cdot\left(\nabla\mathbf u\right)^T$

Vemos como el término en cuestión está directamente relacionado con el laplaciano del campo de presiones. Dado que este término existe en un flujo incompresible, podemos decir que tiene un significado físico más allá o incluso diferente a la dilatación.

Si pensamos en un flujo de Stokes, donde este término se considera insignificante debido al dominio de los términos viscosos, la nulidad de este término sirve para resaltar el hecho de que no hay fuente o sumidero de aceleración convectiva debido a la presión.

En un caso en el que este sea distinto de cero como en un flujo turbulento (número de Reynolds alto), primero: esto nos informa sobre la propiedad de no localidad del campo de presión (que podría ver si piensa en integrar la igualdad que se muestra arriba) . Segundo: Nos habla de cómo la presión actúa como fuente o sumidero de un fluido no por dilatarlo o contraerlo sino por la naturaleza puramente no lineal de la turbulencia. La razón detrás de esto es el hecho de que el término en cuestión viene tomando la divergencia del término convectivo de aceleración en la ecuación NS. La divergencia del campo de aceleración en un punto, si no es cero, indica la presencia de una fuente o sumidero de aceleración.

Sus ideas sobre este término son confusas: el término no tiene nada que ver, per se , con la turbulencia (es igual de importante en los flujos laminares), y no entiendo sus reflexiones con respecto a una " fuente o sumidero de aceleración convectivo debido a la presión ".
@Pirx Gracias por señalar mi error sobre los flujos laminares, en realidad deberían ser flujos de Stokes donde los números de Re son tan bajos que el término no lineal $\left(\mathbf u \cdot \nabla\right)\left(\mathbf u\right)$ cancelar delante del término viscoso, en cuyo caso se obtiene un campo de presión que varía linealmente a lo largo de la dirección del movimiento (al resolver la ecuación de Laplace resultante. En cuanto a su segundo comentario, creo que el término en cuestión entra tomando divergencia del término convectivo de aceleración en la ecuación NS, que si no es cero, puede interpretarse como fuente o sumidero.

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Relación entre Conexión y Derivado Material

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