¿Cuál es la velocidad en la ecuación de Navier-Stokes?

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¿Cuál es la velocidad en la ecuación de Navier-Stokes?

fluir
Física
velocidad
navier-stokes
campos vectoriales
dinámica de fluidos

Espaguetificación cuántica

He estado mirando la ecuación de Navier-Stokes y parece que no puedo encontrar en ninguna parte una descripción clara de qué velocidad representa.

Por lo que he leido puede ser alguno de los siguientes:

La 'velocidad del flujo'.
La velocidad de una partícula individual (creo que esto es muy poco probable).
La velocidad media de las partículas cerca del punto de consideración.

¿Cuál de estos (si alguno) es correcto y por qué? (Una fuente sería útil)

honeste_vivere

El

v

$\mathbf{v}$ es la velocidad de flujo a granel de un elemento fluido (es decir, una "mancha" del fluido dado).

Espaguetificación cuántica

@honeste_vivere, ¿no sería lo mismo que mi tercera opción?

honeste_vivere

Algo así, pero no realmente... Lo tratas como un conjunto de elementos fluidos, no como partículas individuales (lo que sería teoría cinética). La ecuación de Navier-Stokes es una aproximación fluida derivada de la teoría cinética tomando promedios espaciales de conjunto. Es la velocidad de flujo a granel que encuentra después de "fluidizar" las ecuaciones, por así decirlo. ¿Eso ayuda?

Espaguetificación cuántica

@honeste_vivere Lo siento, ¿puede especificar qué quiere decir con 'promedios espaciales de conjunto'? Sé lo que es un promedio de conjunto, pero ¿qué quiere decir con 'espacial', qué estamos promediando y sobre qué (¿espacio?)?

honeste_vivere

Un promedio de conjunto requiere una cantidad que usted especifique sobre la cual se promedia. Por ejemplo, se puede hacer un promedio de conjunto espacial (sí sobre el espacio) o temporal (es decir, similar pero no igual a un promedio de tiempo). También hay promedios de conjuntos de energía (p. ej., relacionados con la función de partición en mecánica estadística).

Respuestas (2)

¿Cuál es la velocidad en la ecuación de Navier-Stokes?

El $\mathbf{v}$ es la velocidad de flujo a granel de un elemento fluido (es decir, una "mancha" del fluido dado).
@honeste_vivere, ¿no sería lo mismo que mi tercera opción?
Algo así, pero no realmente... Lo tratas como un conjunto de elementos fluidos, no como partículas individuales (lo que sería teoría cinética). La ecuación de Navier-Stokes es una aproximación fluida derivada de la teoría cinética tomando promedios espaciales de conjunto. Es la velocidad de flujo a granel que encuentra después de "fluidizar" las ecuaciones, por así decirlo. ¿Eso ayuda?
@honeste_vivere Lo siento, ¿puede especificar qué quiere decir con 'promedios espaciales de conjunto'? Sé lo que es un promedio de conjunto, pero ¿qué quiere decir con 'espacial', qué estamos promediando y sobre qué (¿espacio?)?
Un promedio de conjunto requiere una cantidad que usted especifique sobre la cual se promedia. Por ejemplo, se puede hacer un promedio de conjunto espacial (sí sobre el espacio) o temporal (es decir, similar pero no igual a un promedio de tiempo). También hay promedios de conjuntos de energía (p. ej., relacionados con la función de partición en mecánica estadística).

usuario65081 · Answer 1

Tienes razón, es la velocidad de un pequeño volumen de fluido centrado en el punto, ese es un movimiento macroscópico, pero también es el resultado de la velocidad promedio de las partículas en ese volumen.

Valerio · Answer 2

Un poco de 1, un poco de 3...

El nombre técnico es velocidad de flujo , como se indica correctamente en el artículo de Wikipedia sobre ecuaciones NS.

Pero uno podría preguntarse qué significa "velocidad de flujo". Del artículo de Wikipedia:

la velocidad del flujo [...] es un campo vectorial que se usa para describir matemáticamente el movimiento de un continuo.

Aunque correcta, esta definición es algo oscura. Así que echemos un vistazo más de cerca.

Al describir el movimiento de un fluido, teóricamente tenemos dos opciones: la primera es etiquetar cada partícula en el fluido y resolver las ecuaciones de Newton.

\frac{d^{2}}{d t^{2}} X X_{norte} (t) = F F_{norte} (t) norte = 1, \dots, norte

$\frac{d^2}{dt^2}\pmb x_n(t)=\pmb F_n(t) \ \ \ \ n=1,\dots,N$

con las condiciones iniciales

X X_{norte} (t_{0}) = X X_{norte, 0}

$\pmb x_n(t_0)=\pmb x_{n,0}$

dónde $N$ es el número de partículas en el fluido. Si fuéramos capaces de resolver estas ecuaciones, podríamos expresar la evolución temporal del sistema a través de un conjunto de funciones $\pmb U_n$ dando la posición de la partícula $n$ en el momento $t$ :

X X_{norte} (t) = tu {tu}_{norte} (X X_{norte, 0}, t)

$\pmb x_n(t)=\pmb U_n(\pmb x_{n,0} \ ,t)$

Este mirador es conocido como el mirador lagrangiano . El problema de este enfoque es que incluso si pudiera funcionar teóricamente, es completamente inútil si queremos que nuestra teoría sea algo predictiva. La razón es que, por supuesto, no podemos conocer las condiciones iniciales microscópicas de nuestro sistema, y mucho menos resolver las ecuaciones de Newton.

Por lo tanto, elegimos otro enfoque, conocido como el punto de vista euleriano . Elegimos un punto $\pmb x$ en el espacio y mida la velocidad del fluido alrededor de ese punto (en un pequeño volumen de control ). En la práctica, tomaríamos una rueda de paletas muy pequeña y la colocaríamos $\pmb x$ , luego mida la velocidad de su rotación para deducir la velocidad del fluido en ese punto del espacio.

Si tomamos un número infinito de ruedas de paletas infinitamente pequeñas, obtendremos un campo vectorial para la velocidad, que nos dará la velocidad del fluido en cada punto del espacio:

tu tu (X X, t)

$\pmb u(\pmb x, t)$

Esto es lo que llamamos "velocidad de flujo" y lo que aparece en las ecuaciones NS.

Los dos puntos de vista están relacionados por la siguiente expresión:

tu tu (tu tu (X X_{0}, t), t) = \frac{\partial tu tu}{\partial t} (X X_{0}, t)

$\pmb u(\pmb U (\pmb x_0, t), t) = \frac{\partial \pmb U}{\partial t} (\pmb x_0, t)$

porque se puede ver que ambos lados describen la velocidad del paquete etiquetado $\pmb x_0$ en el momento $t$ .

¿Cuál es la velocidad en la ecuación de Navier-Stokes?

Espaguetificación cuántica

honeste_vivere

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Respuestas (2)

usuario65081

Valerio

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