Relación entre Conexión y Derivado Material

Que se dé un$n$-variedad dimensional $(M,\nabla)$dotado de una conexión $\nabla$. [En particular, no asumimos que la variedad$M$está equipado con un tensor métrico.] Sea dada una curva$\gamma:\mathbb{R}\to M$. Aquí el lector debe pensar en$\mathbb{R}$y$M$como tiempo y espacio, respectivamente.

1. Si$f: M\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$es un escalar dependiente del tiempo en$M$, entonces la derivada material/total es

   $$\tag{1} d_t f = \partial_t f + \dot{\gamma}^i \partial_i f.$$ En particular, la derivada material/total$d_t f$de un escalar$f$es independiente de la conexión$\nabla$.

2. Si$V$es un campo vectorial dependiente del tiempo en$M$, entonces la derivada material/total es

   $$\tag{2} d_t V = \partial_t V + \dot{\gamma}^i \nabla_i V.$$

NOTA AÑADIDA. Cuando respondí la pregunta, la malinterpreté por completo. Pensé que estaba relacionado con la conexión y la derivada covariante utilizada en la Relatividad General. No es el caso en absoluto. Decidí quedarme con la respuesta de todos modos, porque tal vez alguien con la misma interpretación que yo tenía será dirigido aquí por los motores de búsqueda, como lo fui yo. Lo que sigue es mi respuesta original, que comienza proporcionando mi interpretación totalmente incorrecta pero interesante de la pregunta.

El OP hizo tres preguntas. Primero, preguntó si tiene sentido decir que la derivada covariante a lo largo de las cuatro velocidades$\mathbf{u}$es la derivada material. En segundo lugar, preguntó si tal relación es útil. En tercer lugar, dado que la derivada covariante es un tipo especial de conexión, preguntó si esta relación aún se mantiene y es útil para otras formas de conexión.

La respuesta a la primera pregunta es que la derivada covariante en la dirección de las cuatro velocidades (es decir,$\mathbf{u}^{\alpha}\nabla_{\alpha}$, dónde$\mathbf{u}$es la velocidad cuádruple de la partícula o elemento fluido y$\nabla$es la derivada covariante) es la generalización en espacio-tiempo curvo de la derivada material.

No podemos decir que esta derivada covariante (en la dirección de la velocidad) es la derivada material. Tenemos una situación análoga con la relativista de cuatro velocidades. No podemos decir que la velocidad ordinaria es lo mismo que la cuatrivelocidad relativista, pero es correcto decir que la cuatrivelocidad relativista es la generalización de la velocidad ordinaria.

Veamos como la derivada covariante en la dirección de la velocidad se reduce a la derivada material cuando estamos en un marco de referencia inercial y en el límite bajo de velocidad. Primero, en un marco de referencia inercial, tenemos que la derivada covariante se reduce a la derivada parcial ordinaria. Entonces, en un marco inercial, tenemos

$$\mathbf{u}^{\alpha}\nabla_{\alpha} = \mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha}.$$

Tenga en cuenta que$\nabla_i$, dónde$i$es uno de los componentes$x$,$y$o$z$se usa a menudo para denotar la derivada parcial habitual, pero preferimos usar$\partial_i$para denotar la derivada parcial para evitar una confusión con la derivada covariante. Solo son idénticos en un sistema de coordenadas inercial.

En segundo lugar, la velocidad de cuatro (que, por definición, como longitud$-1$en la métrica de Minskowki) es

$$\mathbf{u} = \frac{(1, v^x, v^y, v^z)}{(1 - v^2)^{1/2}},$$ donde usamos unidades tales que la velocidad de la luz es$c = 1$. Como paréntesis, vemos que, en el límite inferior de velocidad$v \approx 0$, tenemos$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2} \approx 1$y el componente espacial$\gamma (v^x, v^y, v^z)$de la velocidad de cuatro está cerca de la velocidad ordinaria. Ahora mostramos que, de manera similar,$\mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha}$se reduce a la derivada material en el límite de baja velocidad. usamos eso $$v^x = \frac{dx}{dt}, \ \ v^y = \frac{dy}{dt}, \ \ v^z = \frac{dz}{dt}.$$ En el límite de baja velocidad$v \approx 0$, aceptamos$(1 - v^2)^{1/2} \approx 1$y, ignorando la pequeña contribución de términos más altos en$v$, obtenemos $$\mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha} = \partial_t + \frac{dx}{dt} \partial_x + \frac{dy}{dt} \partial_y + \frac{dz}{dt} \partial_z,$$ que es la definición de la derivada material.

Respecto a la segunda pregunta, esta relación entre derivada covariante y derivada material es, entre otras cosas, útil para ver cómo funciona la ecuación de conservación

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ de la Relatividad General, donde$T$es el tensor tensión-energía, se relaciona con las ecuaciones estándar de la dinámica de fluidos newtoniana. Usamos el principio de que las leyes deben permanecer iguales bajo un cambio de sistema de coordenadas y que siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas que sea localmente inercial. Por ejemplo, esto es útil para obtener las típicas ecuaciones de Euler bajo supuestos adecuados. Para el componente de conservación de la energía, en un marco de referencia inercial, tomamos la proyección sobre la curva de cuatro velocidades$\mathbf{u}$para obtener el componente temporal de la ecuación GR y luego tomar el límite de velocidad bajo. Consulte los detalles en "Dinámica de fluidos relativista" http://mathreview.uwaterloo.ca/archive/voli/2/ , secciones 2.1 y 3.3.

Con respecto a la tercera pregunta, no estoy seguro, pero parece que el mismo tipo de estrategia que usamos para relacionar las ecuaciones GR con las ecuaciones newtonianas podría aplicarse en el caso general. En el caso de la conexión Levi-Civita, la estrategia se basa en el principio postulado de que las leyes son las mismas en cualquier sistema de coordenadas. Lo más probable es que necesitemos una extensión de este principio. Algo sobre lo que pensar. No estoy seguro. Tampoco me queda claro que tal nivel de generalidad sea físicamente significativo.