¿Qué significa (u⋅∇)u(u⋅∇)u(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} en la ecuación de Navier-Stokes?

Si solo te preocupa lo que$(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}$significa matemáticamente, entonces no es demasiado complicado.$\textbf{u}$y$\nabla$ambos son vectores entonces,

$$\textbf{u}\cdot \nabla=u_x \partial_x+u_y \partial_y+u_z \partial_z.$$ Ahora solo aplique este operador derivado "direccional" a cada componente del vector $\textbf{u}$Llegar, $$(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}=(u_x \partial_x+u_y \partial_y+u_z \partial_z)\textbf{u}=\left((u_x \partial_x+u_y \partial_y+u_z \partial_z)u_x,(u_x \partial_x+u_y \partial_y+u_z \partial_z)u_y,(u_x \partial_x+u_y \partial_y+u_z \partial_z)u_z\right).$$ Este término se denomina término de convección en el contexto de la ecuación de Navier-Stokes. Para una discusión rápida de los términos de convección y difusión en la ecuación de Navier-Stokes, consulte la siguiente publicación: Términos convectivos y difusivos en las ecuaciones de Navier Stokes

¡Espero que esto ayude!

Es habitual definir la derivada material de un campo vectorial$\boldsymbol{A}$como

$$\frac{D\boldsymbol{A}}{Dt}\equiv\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right)\boldsymbol{A}$$

dónde$\boldsymbol{u}$es el campo de velocidad del fluido, por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben de la siguiente manera

$$\rho\frac{D\boldsymbol{u}}{Dt}=\mu\nabla^{2}\boldsymbol{u}-\boldsymbol{\nabla}p+\rho\boldsymbol{f}$$

La mejor manera de entender este tipo de derivada es pensar en una partícula que sigue la corriente del fluido. Denotemos la posición de esta partícula como$\boldsymbol{x}$, y el campo de velocidad del fluido como$\boldsymbol{u}$. También, denota por$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),t\right)$alguna cantidad relacionada con la partícula. ¿Cómo cambia esta cantidad en el tiempo? Puedes ver fácilmente diferenciando que

$$\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial z}\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} =\\{}\\=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\Bigg[\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\frac{\partial}{\partial y}+\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\frac{\partial}{\partial z}\Bigg]\boldsymbol{A} =\\{}\\=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\Bigg[u_{x}\frac{\partial}{\partial x}+u_{y}\frac{\partial}{\partial y}+u_{z}\frac{\partial}{\partial z}\Bigg]\boldsymbol{A} =\\{}\\=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right)\boldsymbol{A}$$

según la regla de la cadena. ¿Qué quiere decir esto? Puedes dividir el cambio en$\boldsymbol{A}$en dos efectos

• El cambio en el campo$\boldsymbol{A}$en un momento determinado, en el tiempo. Esto se describe con el término$\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$.

• El cambio en el campo$\boldsymbol{A}$debido al cambio del punto de evaluación$\boldsymbol{x}$. Esto se debe al flujo de la partícula en cuestión y se representa con el término$\left(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\right)\boldsymbol{A}$. Esta es esencialmente una derivada direccional en la dirección de la velocidad de la partícula.$\boldsymbol{u}$.