¿Son conservativos los términos de difusión?

Generalmente los términos de difusión son de la forma

D = ∂ ∂ X ( m ∂ tu ∂ X ) .

¿Es este término conservador o no conservador?

Respuestas (2)

En términos de dinámica de fluidos, una ley de conservación es aquella en la que el flujo neto de entrada es igual al flujo neto de salida. Esto se representa típicamente como el PDE, 1

(1) ∂ tu ∂ t + ∇ ⋅ F = S
dónde tu es la cantidad conservada, F el flujo y S el término fuente. 2 En su caso, F = − m ∇ tu , por lo que es un término conservativo porque satisface (1).

Tenga en cuenta, sin embargo, que el dominio de dependencia para una ecuación de difusión en un punto ( X , t ) es el dominio completo en todos los tiempos anteriores. Esto difiere de la ecuación convectiva donde el dominio de dependencia es a lo largo de las características (líneas que satisfacen d tu / d t = 0 ).


1. Esto se puede escribir de manera equivalente como una ecuación integral.
2. Muchas veces S = 0 .

Esta forma es conservadora en el sentido de que, si aproximas el lado derecho con una aproximación de diferencia finita central (usando m en el límite de cada celda de la cuadrícula y u en el centro de cada celda), la aproximación de diferencias finitas conservará automáticamente la masa.

Para aquellos de nosotros que resolvemos problemas difusivos usando métodos numéricos, esto es lo que representa una forma conservadora de los términos de difusión. Un ejemplo de la forma no conservativa sería si diferenciamos por la regla del producto para obtener la forma matemáticamente equivalente:

D = m ∂ 2 tu ∂ t 2 + ∂ m ∂ X ∂ tu ∂ X
Si esto se expresara en forma de diferencias finitas, el esquema de diferencias finitas no conservaría automáticamente la masa. Tal versión sería considerada como no conservadora.

@Kyle Kanos y OP: Recibí un voto negativo por esto, pero dupliqué lo que dije en relación con el uso del término conservador para describir los términos de difusión en el análisis numérico. Apuesto mi reputación a ello.
NB, eso no me avisa a menos que haya comentado primero. De todos modos, no estoy de acuerdo con su respuesta simplemente porque es numéricamente conservadora solo porque es matemáticamente conservadora. OP en ninguna parte menciona métodos numéricos, solo términos matemáticos y físicos (cf. las etiquetas), por lo que no creo que esta respuesta proporcione nada relevante.
Solo estoy hablando de cómo usamos el término en la solución numérica de problemas de difusión. Esta es mi experiencia con el término, y esto es lo que interpreté que preguntaba el OP. Lo siento si eso no coincide con su rango de experiencia.
Lo entiendo, pero tenga en cuenta que los métodos numéricos se derivan de formalismos matemáticos (es decir, FD es una aproximación de un derivado). Entonces, decir que es numérico es aproximadamente equivalente (pero en mi opinión inferior) a matemático.
No sé qué significa todo esto. Todavía no hemos recibido noticias del OP, por lo que realmente no sabemos exactamente a qué se refería. Simplemente estaba interpretando su pregunta desde mi base de experiencia, y tú la estabas interpretando desde tu base de experiencia. Me doy cuenta de que no mencionó resolver una forma de diferencia finita de la ecuación de difusión que automáticamente conserva la masa, pero no sería la primera vez que un miembro no articuló con precisión lo que estaba preguntando. No puedo ver cómo puede estar tan seguro de que su interpretación de su pregunta es lo que realmente quiso decir (descartando todas las demás posibilidades).
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