¿De dónde vienen las ecuaciones para la fuerza resistiva?

Las fuerzas resistivas son directamente proporcionales a la velocidad. Este es un hecho experimental. Lo que está haciendo es una expansión de Taylor al segundo grado.

Matemáticamente, tiene sentido porque se espera que cualquier función razonable tenga una expansión en serie de Taylor,$f(v) = a + bv + cv^2 + ....$por lo suficientemente bajo$v$, los tres primeros términos deberían dar una buena aproximación y, dado que$f = 0$cuando$v = 0$el término constante,$a$, tiene que ser cero.

Además, tenga en cuenta que la función$f(v)$que da la magnitud de la resistencia del aire varía con$v$de una manera complicada, especialmente cuando la velocidad del objeto se acerca a la velocidad del sonido.

Las explicaciones físicas de los dos primeros términos son bastante diferentes: el término lineal surge del arrastre viscoso del medio y generalmente es proporcional a la viscosidad del medio y al tamaño lineal del objeto.

El término cuadrático surge del hecho de que el proyectil tiene que acelerar la masa de aire con la que choca continuamente, y esto es proporcional a la densidad del medio y al área de la sección transversal del objeto.

En particular, para un objeto esférico (una bala de cañón, una pelota de béisbol),$b =\beta D$y$c = \gamma D^2$dónde$D$denota el diámetro de la esfera y los coeficientes$\beta$y$\gamma$depende de la naturaleza del medio.

Para un objeto esférico en el aire en STP, tienen los valores aproximados$\beta = 1.6 \times 10^{-4} N·s/m^2$y$\gamma = 0.25 N·s^2/m^4$