¿Cómo derivar la relación Karman-Howarth-Monin para la turbulencia anisotrópica?

Question

¿Cómo derivar la relación Karman-Howarth-Monin para la turbulencia anisotrópica?

fluir
Física
velocidad
turbulencia
navier-stokes
dinámica de fluidos

Asmaier

Encuentro la derivación de la relación Karman-Howarth-Monin en el libro Turbulence de Frisch (1995) un poco corta. ¿Puede alguien señalarme una derivación más detallada de esa relación? O alguien me puede explicar cómo Frisch obtiene la ecuación que sigue a la oración en la página 78:

Partiendo de la ecuación de Navier-Stokes (6.6), obtenemos
$\begin{aligned} \partial_{t} \frac{1}{2} ⟨ v_{i} v_{i}^{'} ⟩ = & - \frac{1}{2} \partial_{j} ⟨ v_{i} v_{j} v_{i}^{'} ⟩ - \frac{1}{2} \partial_{j}^{'} ⟨ v_{i}^{'} v_{j}^{'} v_{i} ⟩ \\ - \frac{1}{2} ⟨ v_{i}^{'} \partial_{i} pag ⟩ - \frac{1}{2} ⟨ v_{i} \partial_{i}^{'} {pag}^{'} ⟩ \\ + \frac{1}{2} ⟨ v_{i}^{'} F_{i} ⟩ + \frac{1}{2} ⟨ v_{i} F_{i}^{'} ⟩ \\ (6.11) & + \frac{1}{2} v (\partial_{j j} + \partial_{j j}^{'}) ⟨ v_{i} v_{i}^{'} ⟩ . \end{aligned}$ $\begin{align} \partial_t \frac{1}{2}\langle v_i v'_i \rangle =& - \frac{1}{2} \partial_j \langle v_i v_j v'_i\rangle - \frac{1}{2} \partial'_j \langle v'_i v'_j v_i\rangle \\ & - \frac{1}{2} \langle v'_i \partial_i p \rangle - \frac{1}{2} \langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ &+ \frac{1}{2} \langle v'_i f_i \rangle + \frac{1}{2} \langle v_i f'_i \rangle \\ & + \frac{1}{2} \nu \left( \partial_{jj} + \partial'_{jj} \right) \langle v_iv'_i\rangle. \tag{6.11} \end{align}$

dmckee --- gatito ex-moderador

¿Por qué no exhibe las líneas que siguen y define los términos? Existe la posibilidad de que alguien conozca las matemáticas pero no el nombre "relación Karman-Howarth-Monin", y la forma expandida aumentaría su grupo de posibles respuestas.

Respuestas (1)

¿Cómo derivar la relación Karman-Howarth-Monin para la turbulencia anisotrópica?

¿Por qué no exhibe las líneas que siguen y define los términos? Existe la posibilidad de que alguien conozca las matemáticas pero no el nombre "relación Karman-Howarth-Monin", y la forma expandida aumentaría su grupo de posibles respuestas.

qmecanico · Answer 1

Permítame derivar aquí la ecuación (6.11) que sigue a la oración que menciona. La ecuación de Navier-Stokes (6.6a) dice

\partial_{t} v_{i} + v_{j} \partial_{j} v_{i} = - \partial_{i} pag + F_{i} + v \partial_{j} \partial_{j} v_{i} .

$\partial_t v_i + v_j\partial_j v_i = -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i.$

La condición de incompresibilidad (6.6b) dice

\partial_{j} v_{j} = 0.

$\partial_jv_j=0.$

Por tanto, tenemos en el punto imprimado y en el primado que

\partial_{t} v_{i} = - \partial_{j} (v_{j} v_{i}) - \partial_{i} pag + F_{i} + v \partial_{j} \partial_{j} v_{i},

$\partial_t v_i = -\partial_j(v_j v_i) -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i,$

y

\partial_{t} v_{i}^{'} = - \partial_{j}^{'} (v_{j}^{'} v_{i}^{'}) - \partial_{i}^{'} {pag}^{'} + F_{i}^{'} + v \partial_{j}^{'} \partial_{j}^{'} v_{i}^{'},

$\partial_t v'_i =-\partial'_j(v'_j v'_i) -\partial'_i p' + f'_i + \nu~\partial'_j\partial'_j v'_i,$

respectivamente. Por lo tanto, promediar los rendimientos

\begin{aligned} \partial_{t} ⟨ v_{i} v_{i}^{'} ⟩ & = ⟨ v_{i}^{'} \partial_{t} v_{i} ⟩ + ⟨ v_{i} \partial_{t} v_{i}^{'} ⟩ \\ = - ⟨ v_{i}^{'} \partial_{j} (v_{j} v_{i}) ⟩ - ⟨ v_{i} \partial_{j}^{'} (v_{j}^{'} v_{i}^{'}) ⟩ \\ - ⟨ v_{i}^{'} \partial_{i} pag ⟩ - ⟨ v_{i} \partial_{i}^{'} {pag}^{'} ⟩ \\ + ⟨ v_{i}^{'} F_{i} ⟩ + ⟨ v_{i} F_{i}^{'} ⟩ \\ + v ⟨ v_{i}^{'} \partial_{j} \partial_{j} v_{i} ⟩ + v ⟨ v_{i} \partial_{j}^{'} \partial_{j}^{'} v_{i}^{'} ⟩ \\ = - \partial_{j} ⟨ v_{i} v_{j} v_{i}^{'} ⟩ - \partial_{j}^{'} ⟨ v_{i}^{'} v_{j}^{'} v_{i} ⟩ \\ - ⟨ v_{i}^{'} \partial_{i} pag ⟩ - ⟨ v_{i} \partial_{i}^{'} {pag}^{'} ⟩ \\ + ⟨ v_{i}^{'} F_{i} ⟩ + ⟨ v_{i} F_{i}^{'} ⟩ \\ + v (\partial_{j} \partial_{j} + \partial_{j}^{'} \partial_{j}^{'}) ⟨ v_{i} v_{i}^{'} ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} \partial_t \langle v_i v'_i \rangle &= \langle v'_i \partial_t v_i \rangle + \langle v_i \partial_t v'_i \rangle \\ &= - \langle v'_i\partial_j(v_j v_i) \rangle - \langle v_i \partial_j'(v'_j v'_i) \rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu \langle v'_i\partial_j\partial_jv_i\rangle + \nu \langle v_i\partial'_j\partial'_j v'_i\rangle \\ &= -\partial_j \langle v_i v_j v'_i\rangle -\partial_j' \langle v'_i v'_j v_i\rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu\left( \partial_j\partial_j + \partial'_j\partial'_j\right)\langle v_iv'_i\rangle, \end{align}$

donde hemos usado que el promedio y la diferenciación conmutan, y también que las velocidades primadas son independientes de las derivadas no primadas, y viceversa.

La relación Karman-Howarth-Monin completa se deriva de la Ref. 1 siguiendo esencialmente la Ref. 2.

Referencias:

Marc Brachet, Introducción a la teoría clásica de la turbulencia ; pag. 8-9.
Uriel Frisch, Turbulencia: El legado de AN Kolmogorov , 1995; pag. 79.

¿Cómo derivar la relación Karman-Howarth-Monin para la turbulencia anisotrópica?

Asmaier

dmckee --- gatito ex-moderador

Respuestas (1)

qmecanico

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