¿Hay alguna diferencia entre la velocidad instantánea y la magnitud de la velocidad instantánea?

Considere una partícula que se mueve alrededor de la cuadrícula de coordenadas. Después$t$segundos, tiene la posición

$$S(t)=(\cos t, \sin t) \quad 0 \leq t \leq \pi/2 \, .$$ La partícula traza un cuarto de arco de longitud$\pi/2$alrededor del círculo unitario. Esto significa que la velocidad media de la partícula es $$\frac{\text{distance travelled along the arc of the circle}}{\text{time}}=\frac{\pi/2}{\pi/2} = 1 \, .$$ Sin embargo, dado que el movimiento de la partícula es circular, la distancia recorrida no es la misma que el desplazamiento. El desplazamiento de la partícula sería$\sqrt{2}$, por lo que la velocidad media sería $$\frac{\text{straight line distance from initial position}}{\text{time}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi/2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \text{ at angle of $\frac{3}{4}\pi$ with the positive $x$-axis} \, .$$ Aquí está la parte que no entiendo muy bien: durante un intervalo, la velocidad promedio de la partícula es diferente de la magnitud de su velocidad. En el ejemplo anterior, el primero es$1$, mientras que este último es$\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$. Sin embargo, la magnitud de la velocidad instantánea de la partícula es la misma que la velocidad instantánea: aquí, ambas son iguales a$1$. Podemos probar matemáticamente esto considerando el siguiente límite $$|S'(t)| = \lim_{h \to 0}\frac{|S(t+h)-S(t)|}{|h|}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\left(\sin(t+h)-\sin t \right)^2+\left( \cos(t+h)-\cos t\right)^2}}{|h|} \, ,$$ que resulta ser igual a$1$. Por lo tanto, la magnitud de la velocidad instantánea es$1$. Y claramente, la velocidad instantánea de la partícula es $$\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} = 1 \, ,$$ ya que la distancia recorrida a lo largo del arco entre$S(t+h)$y$S(t)$es simple$h$unidades. Sin embargo, ¿será siempre así? ¿La magnitud de la velocidad instantánea de una partícula es siempre igual a su velocidad instantánea?