¿Por qué las ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas para la hidrodinámica no contienen aceleración gravitacional?

Si pasa por el proceso de no dimensionar las ecuaciones, las matemáticas se vuelven más claras. Si comienza con la ecuación de cantidad de movimiento (ignorando las fuerzas viscosas porque no son importantes para el análisis):

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + \frac{\partial u_i u_j}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + g$$

Luego introduce escalas relevantes para adimensionalizar las cosas:$\bar{u}_i = u_i/u_0$,$\bar{x}_i = x_i/L$,$\bar{\rho} = \rho/\rho_0$,$\bar{g} = g/g_0$,$\tau = u_0/L t$y$\bar{p} = p/p_0$, usted obtiene:

$$\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial \tau} + \frac{\partial \bar{u}_i \bar{u}_j}{\partial \bar{x_j}} = -\frac{\text{Eu}}{\bar{\rho}} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}_i} + \frac{1}{\text{Fr}^2}\bar{g}$$

$\text{Eu} = \frac{p_0}{\rho_0 u_0^2}$es el número de Euler y$\text{Fr} = \frac{u_0}{\sqrt{g_0 L}}$es el número de Froude .

El número de Froude es la relación entre las fuerzas de convección y las fuerzas de gravedad. Cuando las fuerzas de convección son mucho, mucho mayores que las fuerzas de gravedad, el número de Froude es grande y por lo tanto$\frac{1}{\text{Fr}^2} \ll 1$, y el término de gravedad puede despreciarse en relación con los términos de convección. Así es como podemos justificar matemáticamente la eliminación del término de gravedad cuando las fuerzas convectivas son grandes.

Las ecuaciones NS incluyen el término de gravedad, consulte la entrada de Wikipedia donde se incluye como un término de fuerza corporal .

En algunas condiciones, se puede despreciar: número de Froude grande (como mostró tpg2114) o hidrostática (en la que la fuerza de la gravedad se equilibra con el gradiente de presión) o flujos horizontales ($g$en$z$-dirección pero el flujo está en$x,\,y$avión). También puede absorberse en otros términos: siendo la gravedad conservadora, puede absorberse en el término de gradiente de presión para flujos incompresibles,

$$-\nabla w+\mathbf g=-\nabla(w+\phi)=-\nabla w'.$$ donde $w=p/\rho$, pero esto realmente no sería 'ignorado' como sugirió.

Una razón pedagógica podría ser que la solución terminaría siendo más compleja de lo razonablemente esperado en una prueba o tarea asignada.