¿Significado de pasajes de Gauss sobre la "convergencia de expansiones (en series infinitas) de la ecuación (elíptica) del centro"?

La "ecuación del punto medio" es otro nombre para la "ecuación del centro", relacionada con la ecuación de Kepler. Lo que Gauss quería determinar en esta investigación es la expresión matemática asintótica de los coeficientes de la serie trigonométrica (serie de Fourier) para la diferencia entre anomalía verdadera$v$y media anomalía$M$:

dónde$C_n = f(\epsilon)$. El problema de la determinación de esta serie trigonométrica es esencialmente un equivalente moderno del antiguo método de los epiciclos: este era un modelo de las posiciones celestes de los planetas que usaba una serie de "ruedas" ("epiciclos") con diferentes radios y velocidades angulares. para rastrear la ubicación del planeta. el coeficiente$\frac{C_n}{n}$es esencialmente el radio de la$n$rueda, mientras que su frecuencia angular es$\frac{nM}{t}$($t$es el tiempo de una medición de anomalía media dada).

La fórmula asintótica final de Gauss para los coeficientes está escrita en la última línea de la página 423 del volumen 10-1 como:

dónde$e$es la base de los registros naturales y$\varphi$es el arcoseno de la excentricidad$\varepsilon$($\varepsilon = \sin\varphi$), mientras$\gamma$se define a través de un nuevo ángulo$\theta$como$\gamma = tan(\frac{\theta}{2})$que a su vez está conectado al ángulo$\varphi$por la relación:$tan(\frac{\theta}{2}) = \tan(\frac{{\varphi}}{{2}})e^{\cos\varphi}$. Tenga en cuenta que esta fórmula describe el comportamiento asintótico de$C_n$- ¡No es una fórmula explícita para los coeficientes! fórmula de Gauss para$C_n$por lo tanto, es idéntica a la fórmula de Jacobi de sus memorias de 1849:$C_n \sim (\tan(\frac{{\varphi}}{{2}})e^{\cos\varphi})^n(1 + \frac{{4}}{{3}}\frac{{1}}{{\sqrt{{2n\pi \cos^3\varphi}}}})$.

Vale la pena comentar que$C_n$tiende a cero como$n$tiende a infinito sólo cuando$\gamma\le1$(de lo contrario, tiende a infinito); esto significa que la serie trigonométrica converge solo cuando$\tan(\frac{{\varphi}}{{2}})e^{\cos\varphi}\le 1$. Si recordamos la definición de$\phi$- eso$\varepsilon = \sin\varphi$- obtenemos después de usar varias identidades trigonométricas que el valor crítico de la excentricidad$\varepsilon$para el cual la serie comienza a divergir es la solución numérica de la siguiente ecuación:$\frac{\epsilon e^{\sqrt{1-\epsilon^2}}}{1+\sqrt{1-\epsilon^2}} = 1$.

Esta es exactamente la definición de "límite de Laplace" (cuyo valor es aproximadamente$0.662$); es un punto muy significativo ya que el descubrimiento de Laplace de la divergencia de esta serie para una excentricidad suficientemente grande, así como el cálculo de este límite, se publicaron solo en 1827 (por lo que Gauss lo precedió en más de 20 años). En P. 424 del mismo manuscrito aparece una tabla de cantidades relevantes que Gauss calculó para 25 valores diferentes de anomalía media$M$(entre 0 y 180 grados) cortando la serie trigonométrica infinita después de varios términos. Toda la tabla se calcula para un gran valor de excentricidad -$0.655$- un valor que está muy cerca del límite de Laplace. Esta tabla es probablemente el aspecto numérico de la investigación que realizó Gauss sobre "el grado de convergencia de las series trigonométricas"; es decir, la tasa de convergencia de tales series.

Para derivar la expresión de forma cerrada para los coeficientes de la serie, Gauss aplicó una determinada transformación imaginaria para la anomalía excéntrica$E$(la transformación imaginaria es$E = i\cdot \log\cot(\frac{{\varphi}}{{2}}) + \epsilon$. Gauss no explica cómo llegó a este método, ya que está operando completamente con representaciones en serie, pero más tarde el matemático Jakob Horn, conocido por sus contribuciones a la teoría de las expansiones asintóticas, demostró que se puede llegar a esta sustitución por operando con integrales en el plano complejo. El siguiente es un extracto de una carta de Jakob Horn en la que explica el significado de la sustitución de Gauss:

para el desarrollo

$$C_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\frac{dv}{dM}e^{inM}dM = \frac{cos\varphi}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}e^{inM}\frac{dE}{1-f cosE}$$ introduciendo$z = e^{iE}$obtenemos $$C_n = -i\frac{cos\varphi}{\pi}\int F(z)(\Phi(z))^ndz$$ en el cual $$F(z) = \frac{1}{z-\frac{f}{2}z^2-\frac{f}{2}}, \Phi(z) = ze^{-\frac{f}{2}(z-\frac{1}{z})}$$ está integrado sobre el círculo unitario$|z| = 1$. La función$F(z)$tiene los puntos singulares reales $$z_0 = \frac{1-\sqrt{1-f^2}}{f} = \mathbb{tan(\frac{\varphi}{2})} = e^{i\mathfrak R}<1$$ $$z_1 = \frac{1+\sqrt{1-f^2}}{f} = \mathbb{cot(\frac{\varphi}{2})} = e^{-i\mathfrak R}>1$$ que también son ceros de$\Phi'(z)$. El camino de la integración $$|z| = 1$$ puede ser reemplazada por la ruta de integración$|z| = z_0$, que solo tiene que evitar el punto singular$z_0$. Uno tiene que establecer en consecuencia$z = z_0e^{i\epsilon}$, o lo que es lo mismo $$E = \mathfrak R +\epsilon = i\mathbb{logcot(\frac{\varphi} {2})}+\epsilon$$ que es precisamente la sustitución utilizada por Gauss. Si uno toma el círculo$|z| = z_1$como el camino de integración, sin pasar por el punto singular$z_1$, uno tiene $$z = z_1e^{i\theta}$$ o $$E = \theta - i\mathbb{logcot(\frac{\varphi} {2})}$$ una sustitución que se utiliza en un artículo de Wilhelm Scheibner.

Por lo tanto, parece que la importancia de esta investigación de Gauss radica en el hecho de que su método de derivación se basa en sus ideas sobre los fundamentos del análisis complejo. En su reconstrucción histórica de la línea de pensamiento de Gauss, Schlesinger también menciona algunas investigaciones preliminares realizadas por Gauss y registradas en varias entradas del diario. Estas entradas se refieren a la serie divergente$0!-1!+2!-3!+...\approx 0.5963$(la famosa sumatoria de Euler) y el comportamiento asintótico de las funciones de Bessel y la ubicación de sus ceros (ver Gauss's werke, volumen 10, p.382-389).

Aspectos históricos :

Muy tarde en su vida (1850 en adelante), Gauss mencionó en varias cartas a su amigo Schumacher su deseo de escribir un tratado fundamental sobre la convergencia de series trigonométricas, que incluirá las conexiones con las doctrinas de cantidades complejas (funciones complejas) y análisis. situs (ideas topológicas sobre la conectividad de las superficies). Reclama prioridad para las investigaciones de Jacobi de 1849 sobre la ecuación de Kepler, afirmando que poseía la solución al problema de los coeficientes de la serie trigonométrica por aproximadamente$\pm 50$años. El año exacto en el que realizó sus investigaciones relevantes no se puede fechar con exactitud, pero Schlesinger especula que fue alrededor del año 1805.

En realidad, el primer astrónomo matemático que trató de resolver este problema fue Francesco Carlini, quien dio una solución notable pero defectuosa en 1817, por lo que la solución de Gauss es anterior incluso a él. Para ver un artículo de encuesta sobre el trabajo de Carlini, consulte el artículo; " Francesco Carlini: la ecuación de Kepler y la solución asintótica de las ecuaciones diferenciales singulares ". La solución de Carlini era esencialmente diferente de la de Gauss e implicó el primer uso de la aproximación WKB de la mecánica cuántica, mientras que la solución de Gauss es bastante similar a la que W. Scheibner dio en 1856, que utilizó la teoría de los residuos de Cauchy.

La importancia de la forma en que Gauss deriva la solución es que es incomparablemente más corta que la de Jacobi. Si no me equivoco, uno de los posibles temas que Gauss le sugirió a Riemann para su tesis doctoral fueron las series trigonométricas, por lo que sospecho que (dado que fue alrededor del mismo año de sus cartas a Schumacher) podría estar relacionado de alguna manera con eso, pero esto es enteramente una especulación mía.

Finalmente, vale la pena señalar que el famoso matemático Vladimir Arnold dijo lo siguiente sobre el límite de Laplace:

Al intentar explicar el origen de esta constante, Augustin Cauchy creó un análisis complejo. Numerosas nociones y resultados matemáticos fundamentales, como las funciones de Bessel, las series de Fourier, el índice topológico de campos vectoriales y el principio del argumento en la teoría de funciones complejas, también hicieron su primera aparición en investigaciones relacionadas con la ecuación de Kepler.

Esta cita está tomada del artículo de Arnold "La segunda ley de Kepler y la topología de las integrales abelianas (según Newton)", que en realidad no se trata de la constante de Laplace (en realidad se trata del "teorema de Newton sobre los óvalos"), pero lo mencioné solo para llevar el círculo de ideas en torno a los resultados inéditos de Gauss a un cierto cierre histórico.

Preguntas restantes

Todavía no entiendo la idea básica detrás de la sustitución de Gauss.$E = i\cdot \log\cot(\frac{{\varphi}}{{2}}) + \epsilon$, y ni siquiera entiendo qué tan bien definidas cantidades como$E,\varphi,\epsilon$puede estar relacionado por esta ecuación. De todos modos, el significado de esta sustitución es el tema de una publicación sobre el intercambio de pilas de Astronomy, y también sigo actualizando esta publicación de HSM para aumentar las posibilidades de obtener una respuesta sobre el significado de la sustitución de Gauss.