La anticipación de Gauss de los cuaterniones y su relación con las congruencias

Le pregunté a un matemático experto en álgebra abstracta y me mostró que la congruencia de Gauss era correcta. Para probar la congruencia de Gauss, introduzcamos la siguiente notación:

$$x = a+bi,y = c+ di, u = \alpha + \beta i, v = \gamma + \delta i, X = A + Bi, Y = C + Di$$ .

En primer lugar, hay que entender que la notación de Gauss se diferencia de la convención moderna en dos aspectos:

• Cuando Gauss designa un cuaternión por una colección de cuatro coeficientes$(a,b,c,d)$, el quiere decir$a+ib+jc+kd$(no$a+bi+cj+dk$).
• En segundo lugar, Gauss define la multiplicación de cuaterniones de tal manera que el producto de dos cuaterniones fundamentales da el tercero con signo positivo si la operación de multiplicación se realiza en sentido antihorario (no en el sentido de las agujas del reloj como en la convención moderna); eso es,$ij=-k$y$jk = -i$. Que define la multiplicación de cuaterniones de esta manera es evidente a partir de las expresiones bilineales que da para los cuatro coeficientes$(A,B,C,D)$del producto.

Por lo tanto, cada uno de los cuaterniones$q_1= a + ib + jc +kd$y$q_2 = \alpha + i\beta +j\gamma + k\delta$Se puede escribir como:

$$q_1 = x + jy$$ $$q_2 = u + jv$$

y:

$$q_3 = q_1q_2 = X+jY = (x + jy)(u+jv) = (xu - \bar y v) + j(yu + \bar x v)$$

Los símbolos conjugados complejos aparecen debido a la no conmutatividad del álgebra de cuaterniones; eso es,$jy = \bar yj$. Finalmente, para probar la congruencia de Gauss, hagamos el siguiente paso (multiplicando ambos lados de la congruencia por$(A+iB)(a+ib)$):

$$(C+Di)(a + bi)-(A+Bi)(c+di) = Yx - Xy = (yu + \bar x v)x - (xu - \bar y v)y = (x\bar x + y\bar y)v + (xy - xy)u =\rVert x + jy \rVert ^2 v$$

Desde$\rVert x + yj \rVert ^2 = m$se obtiene que el resultado es igual al producto de my un número complejo entero.

Nota IMPORTANTE:

La prueba de la congruencia de Gauss como se presentó anteriormente incluye un paso problemático, que es la multiplicación de ambos lados de la congruencia por$Xx = (A+iB)(a+ib)$y la conclusión de que si las congruencias resultantes son correctas, entonces la congruencia original también es correcta. Debería ser más apropiado probar, de hecho, que m divide$\frac{||x+jy||^2v}{(A+iB)(a+ib)} = m\frac{v}{(A+iB)(a+ib)} = m(\epsilon+i\pi)$dónde$\epsilon,\pi$son números racionales. Sin embargo, dado que estamos tratando con aritmética modular, para números primos$m$todo número racional tiene un entero equivalente (por ejemplo,$\frac{1}{3} \equiv 5 \pmod 7$), por lo que después de la multiplicación del equivalente entero de$\epsilon + i\pi$con$m$el entero gaussiano resultante es realmente congruente con$0$módulo$m$(Gauss no dice$m$es un número primo, así que supongo que estas congruencias solo pretenden ilustrar un principio general).