Estoy tratando de averiguar varias cosas sobre los pensamientos de Gauss con respecto a cierta trenza de cuatro hebras. La referencia en la que se basan mis preguntas es principalmente el excelente artículo de Moritz Epple " orbits of asteroids, a braid, and the first link invariant ". Entre los hallazgos de este artículo se encuentra una nueva tesis histórica del papel que desempeñó la integral de enlace en las ideas de Gauss sobre topología, y una interpretación de la misma como herramienta computacional.
Esta interpretación de la integral de enlace de Gauss, como un cálculo en lugar de una definición, parece ser el bloque que falta en la reconstrucción de los pensamientos de Gauss sobre cuestiones topológicas, como documentan los numerosos informes indirectos (de Mobius, Listing, etc.). Siempre tuve una fuerte sensación intuitiva de que la introducción del número de enlace de Gauss no puede ser solo una definición, ya que no se necesita una integral para definir el número de enlace (uno puede hacerlo simplemente proyectando el enlace en un plano y luego contando cruces negativos y positivos).
Dado que ver las trenzas como objetos matemáticos parece inspirar las "meditaciones" de Gauss sobre la topología, me gustaría entender más sobre los temas discutidos en el artículo de Epple.
Algunas preguntas básicas
Epple comienza su exposición del fragmento de Gauss con la observación de que "Gauss pensó que la trenza estaba dividida en seis segmentos, que se extendían de un cruce al siguiente". Incluso este hecho básico no está claro para mí, ya que los cruces dividen los cuatro hilos en más de seis segmentos.
¿Qué son los "medios giros" mencionados en los siguientes párrafos?
Preguntas más difíciles
¿Por qué Gauss usó coordenadas basadas en números enteros complejos para codificar una trenza? Epple dice: "Que Gauss usó números enteros complejos para codificar la composición de la trenza podría estar motivado por su conocida fascinación por estos números; sin embargo, también podría tener una razón más seria (ver más abajo)". Desafortunadamente, no pude inferir del resto del texto la explicación de por qué los números complejos son importantes aquí.
Epple sugiere conectar el dibujo de la trenza que se encuentra en el cuaderno de Gauss con su definición posterior de la integral de enlace; según su interpretación, la integral de enlace representa un cálculo en lugar de una definición ; en el caso de una trenza de dos hebras, este enfoque analítico (la integral) da lugar a un número de enlace que es igual a un múltiplo entero de . Si Gauss aplicó una especie de integral de enlace para trenzas (¿cómo se puede definir el número de enlace para una trenza con más de dos hebras?), surge una pregunta: ¿existen definiciones conocidas de un "número de enlace" para trenzas generales?
Es tentador relacionar la carta de 1847 de Mobius a Gauss, que menciona un tratado sobre todas las configuraciones posibles de un "hilo" (que parece significar una "trenza") como introducción a un artículo sobre electricidad y magnetismo, con este fragmento, e imagínelo como una presentación detallada de sus pensamientos sobre las trenzas. Sin embargo, me parece completamente confuso cómo se relacionan estos problemas de física clásica con las trenzas y, por lo tanto, me gustaría saber si alguien conoce las conexiones entre el electromagnetismo y las trenzas y puede decir algo al respecto.
Como se dice en mi respuesta publicada (que solo pretende brindar información adicional), la referencia indirecta en la carta de Betti establece que Gauss estaba ocupado con cierto problema de trenza que no logró resolver, excepto en casos especiales. ¿Existe algún término de la teoría de la trenza moderna para el problema topológico descrito en la carta de Betti?
Pregunta general
Una cosa que noté, que me parece muy interesante, es que varios resultados o dibujos a los que se refieren algunos autores, no aparecen en ninguno de los 12 volúmenes de la versión publicada del trabajo de Gauss. Solo como un ejemplo, en varios artículos sobre la historia temprana de la teoría de nudos, los autores mencionan una colección de 13 nudos hechos por Gauss. Entonces mi pregunta es: ¿hay algún sitio web que dé acceso a esos oscuros escritos de Gauss?
Encontré una referencia útil que podría ayudar a responder esta pregunta (esto no constituye una respuesta a las preguntas en la publicación). La referencia es de la pág. 46-47 del libro "De Riemann a la Geometría Diferencial y la Relatividad" - en esas páginas el autor cita una carta de 1863 de Enrico Betti a otro matemático:
Lo que le dio a Riemann la idea de los cortes fue que Gauss se los definió, hablando de otros asuntos, en una conversación privada. En sus escritos se encuentra que es importante el análisis situs, es decir, la consideración de las cantidades independientemente de su medida; En los últimos años de su vida ha estado muy preocupado por un problema de análisis situs, a saber: dado un hilo sinuoso y sabiendo, en cada una de sus auto-intersecciones, qué parte está arriba y cuál abajo, para encontrar si puede desenrollarse sin hacer nudos; este problema no logró resolverlo excepto en casos especiales...
Supongo que el "problema del hilo" que se menciona en la carta de Betti es un problema topológico (en trenzas) en el sentido moderno. Entonces, comprender el significado del problema que Gauss trató de resolver podría arrojar algo de luz sobre la nota mencionada en el artículo de Epple, en el que Gauss hizo la primera discusión matemática de una determinada trenza.
Además, hay una carta de Mobius a Gauss del 2 de febrero de 1847:
Como escuché de Wilhelm Weber, le pareció necesario, hace unos años, como introducción o preparación para la teoría de las corrientes eléctricas o magnéticas, escribir un tratado sobre todas las posibles vueltas (configuraciones) de un hilo. ¿No es de esperar que este ensayo aparezca pronto? El cumplimiento de esta esperanza será muy apreciado por mí y ciertamente también por muchos otros.
Victor Blasjo
Mozibur Ullah