La ecuación quíntica general no puede resolverse mediante radicales y se muestra en un trabajo histórico y de gran alcance de Galois de 1832, que se convirtió en una plantilla de la teoría de grupos moderna y la teoría de Galois. Sin embargo, la ecuación quíntica general se puede reducir a una forma radical de Bring (usando la transformación de Tschirnhaus), y esta forma de la quíntica se puede resolver de alguna manera usando ideas de la teoría de funciones elípticas. Realmente no estoy familiarizado con estos materiales, y es por eso que estoy haciendo esta pregunta.
De acuerdo con lo que he leído, Hermite basó su construcción en los resultados de Jacobi y en las observaciones realizadas por el mismo Galois (en el último artículo de Galois); estos resultados se relacionan con el llamado "problema de transformación de las integrales elípticas"; un La transformación de orden número uno de la integral elíptica conduce a una ecuación modular que en realidad es una ecuación polinomial de grado 2 en dos variables, y estas variables están conectadas de alguna manera a la integral elíptica. Hermite basó su demostración en la Transformación de º orden de Jacobi.
Para completar la discusión histórica, según la página 4 del libro "Hessian Polyhedra, Invariant Theory And Appell Hypergeometric Functions", Gauss conocía las transformaciones de orden 3, 5 y 7 desde 1808, y según otra fuente Gauss también hizo algunos comentarios muy significativos sobre el problema de la transformación de cualquier orden impar.
Por lo tanto, mis preguntas son tanto explicativas como históricas:
En general, la transformación de integrales elípticas (o diferenciales) es encontrar soluciones algebraicas de una ecuacion diferencial
La primera transformación de este tipo fue descubierta por Landen en 1775, y se llama transformación de Landen . Independientemente fue descubierto por Gauss 1790 cuando estudió la media aritmético-geométrica (previamente estudiada por Lagrange en 1785). Pero como de costumbre, Gauss se lleva todo el crédito por todo lo que toca.
La teoría de las transformaciones conduce a ciertas ecuaciones algebraicas llamadas ecuaciones modulares clásicas que Hermite usó para resolver la quíntica.
Puede leer los detalles en el libro Lectures on Icosahedron and solution of 5-th grade de Klein. Para una exposición moderna, puede consultar el libro de Jonathan y Peter Borwein, Pi y AGM.
Documentos originales: Hermite CR 46 (1858) 508-515. Kronecker (una prueba simplificada): CR 46 (1858) 1150-1152.
Generalización a ecuaciones de grado arbitrario: H. Umemura, Resolución de ecuaciones algebraicas con constantes theta, Apéndice I del libro de D. Mumford, conferencias Tata sobre Theta, 1983.
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