¿Gauss formuló, o al menos conoció, la esencia completa del Teorema de Gauss-Bonnet?

Aparentemente no. En la página 463 del artículo de 1996 de Daniel Gottlieb All the Way with Gauss-Bonnet and the Sociology of Mathematics (The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 6), escribe (según Morris Hirsch) que Walter Dyck en 1888 fue el primero en conectar el grado del mapa de Gauss con la característica de Euler-Poincaré. Unas pocas líneas más adelante en el mismo artículo, Gottlieb escribe que Hans Samelson no pudo encontrar una declaración del teorema global de Gauss-Bonnet en las obras de Gauss.

Aunque ya acepté una respuesta, agregué esta respuesta para aclarar lo que se sabe sobre el trabajo de Gauss hacia el teorema general de Gauss-Bonnet y qué es una cuestión de especulación; esta distinción no está clara en la respuesta de Mark Yasuda, y uno podría obtener una impresión incorrecta sobre las raíces de las ideas geométricas diferenciales de Gauss.

Gauss probablemente conocía el enunciado global del teorema de Gauss-Bonnet, al menos en el caso de una superficie simplemente conectada con límite (como en el caso de una superficie esférica cortada a lo largo de un círculo pequeño, vea la figura a continuación; este caso requiere ambos la integral de superficie de curvatura del trozo de esfera y la integral de línea a lo largo del límite). Sin embargo, el teorema de Gauss-Bonnet para una superficie general requiere nociones topológicas como el género$g$de una superficie y su característica de Euler$\chi$($\chi = 2 - 2g$para superficie orientada), por lo que confirmar el conocimiento de Gauss es simplemente una cuestión de especulación sobre las ideas topológicas que estaban cristalizando lentamente en la mente de Gauss.

Mis indicaciones se basan en la lectura del tratado de Oscar Bolza sobre la contribución de Gauss al cálculo de variaciones y geometría diferencial; una sección del mismo está dedicada a "la curvatura geodésica y el teorema de la curvatura total". En esta sección, Bolza analiza el manuscrito inédito de Gauss titulado " Die Sietenkrummung " ("la curvatura lateral"), que data de los años anteriores a su publicación sobre geometría diferencial (los años 1822-1825). Gauss introduce en este manuscrito la definición "extrínseca" de la curvatura geodésica$K_g$en un punto dado de una curva incrustada en la superficie, y da una fórmula "intrínseca" en términos de los coeficientes de la primera forma fundamental$E,F,G$y sus derivadas primera y segunda con respecto a las coordenadas curvilíneas$p,q$- esta fórmula prueba que la curvatura geodésica es una invariante isométrica de la superficie, en contraste con la definición aparentemente extrínseca de la misma (como en el caso del "Teorema Egregium" sobre la curvatura de Gauss). Este resultado fue redescubierto por Ferdinand Minding aproximadamente una década después.

Además, Bolza hace las siguientes observaciones:

En la última sección del trabajo mencionado anteriormente, Gauss da una extraña transformación a la expresión que encontró para la curvatura geodésica, que es el núcleo real no solo del teorema de Gauss sobre la curvatura total, sino también de la posterior generalización de Bonnet (1848). La expresión dada por Gauss tiene la siguiente forma:

$$K_gds = \frac{\sqrt{EG-F^2}(p'dq'-q'dp')}{Ep'^2 + 2Fp'q' + Gq'^2}+\frac{\Phi(p,q,p',q')dt}{(Ep'^2 + 2Fp'q' + Gq'^2)\sqrt{EG-F^2}}$$ dónde$\Phi$es una cierta forma cúbica en variables$p', q'$cuyos coeficientes son funciones racionales de$E,F,G$y sus primeras derivadas con respecto a$p,q$.

Bolza continúa y describe la derivación de Gauss de la siguiente fórmula (no incluí la derivación):

dónde$P,Q$son las siguientes funciones:

Bolza continúa y dice que la integración de estas ecuaciones en coordenadas polares geodésicas produce la generalización de Bonnet del teorema de la curvatura total (el famoso teorema de Gauss-Bonnet):

Como el límite de la superficie es un lazo regular cerrado,$\int_{d\Omega}d\theta = 2\pi$, por lo que este teorema concuerda con el hecho de que la característica de Euler de una superficie simplemente conexa con límite (dicha superficie es topológicamente equivalente a un disco cerrado) es$\chi = 1$.

El paso final de integrar las expresiones no se hace explícitamente en el manuscrito de Gauss.

Bolza concluye con las siguientes palabras:

Difícilmente se puede suponer que esta conexión obvia podría haber escapado a Gauss, por lo que probablemente se puede suponer que Gauss ya estaba familiarizado con la generalización de su teorema de Bonnet, como RV Lilienthal y P. Stackel han concluido del hecho de que Gauss escribió la expresión$K_gds$como$df$, y se refirió a él como "el diferencial de la curvatura del lado".

Finalmente, hay una evidencia más a considerar: Gauss en su tratado publicado sobre geometría diferencial ("Investigaciones generales de superficies curvas", 1828) anunció la publicación de más investigaciones sobre la "integral de curvatura" (una memoria de este tipo, sin embargo, no apareció); A la luz de este trabajo inédito, no es difícil adivinar qué tenía en mente cuando hizo el anuncio.

Como ilustración de varias ideas expresadas en esta respuesta, he agregado esta figura.

Una esfera cortada a lo largo de un círculo pequeño es un ejemplo de una superficie curva y simplemente conectada con un límite no geodésico (límite con curvatura geodésica). El caso del teorema de Gauss-Bonnet que probablemente fue cubierto en las investigaciones de Gauss asegura que para todas las geometrías (incluidas aquellas con curvatura métrica, de Gauss y/o curvatura geodésica diferente a una esfera perforada) con esta topología (es decir, homeomorfas a una esfera con un agujero) la suma de la curvatura total de la superficie y la curvatura geodésica total de su límite es siempre$2\pi$.