¿Los comentarios de Gauss de 1846 sobre la distinción entre derecha e izquierda estaban relacionados con la orientabilidad de las superficies?

La respuesta corta a la pregunta del título es probablemente sí. Hay dos temas separados discutidos en el OP, uno es más filosófico sobre los desacuerdos de Gauss con el apriorismo de Kant sobre el espacio, y el otro, sobre sus ideas sobre la orientación de las superficies y las superficies no orientables. La primera pregunta se aborda hasta cierto punto en ¿ Fue Kant un factor en la formación de la visión abstracta de Gauss de los objetos matemáticos? , así que me centraré en el segundo.

Gauss mantuvo correspondencia con Gerling durante mucho tiempo, al menos desde 1819, cuando mencionó el defecto de la suma de ángulos ("teorema de Gauss-Bonnet") para triángulos hiperbólicos en una carta que le envió. En ese momento, el tema principal era la geometría no euclidiana, y esto se analiza en profundidad en ¿Qué leyó Gauss en el Apéndice? de Abardia, Reventós y Rodríguez (la referencia es al Apéndice de Bolyai de 1832). Los problemas relacionados con lo que Gauss llamó teorema egregium (invariancia de la curvatura bajo isometrías) se discuten en cartas de 1825 a Schumacher. El célebre trabajo de Gauss sobre geometría de superficies curvas Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas salió a la luz en 1827. Sus escritos relevantes sobre el tema, tanto publicados como inéditos, se analizan extensamente en150 años después de Gauss « Disquisitiones generales circa superficies curvas » de Dombrowski . Dombrowski cita un borrador inédito de 1825 de Disquisitiones Generales , que muestra que Gauss poseía el concepto de orientación superficial en 1825 (y posiblemente ya en 1794). En su "traducción libre" modernizada:

" La suma de los ángulos de un (pequeño) triángulo geodésico Δ ​​en una superficie curva en$\mathbb{E}^3$es igual a la suma de π y el área de la superficie orientada de la imagen esférica de Δ, donde el área orientada se toma como positiva o negativa según si el límite de la imagen esférica de Δ gira alrededor de la imagen en la misma dirección o en la dirección opuesta a medida que el límite de Δ gira alrededor de Δ. (57)

Gauss luego lo generaliza a polígonos geodésicos. Dombrowski analiza el contexto y especula que Gauss llegó a la declaración general para superficies curvas por el caso hiperbólico combinado con su experiencia práctica con mediciones geodésicas en 1812-1822:

El resultado (57) ya era ampliamente conocido en el caso especial de una superficie desarrollable o esférica. Gauss poseía el resultado análogo a (57) para geometría hiperbólica (y por lo tanto esencialmente para superficies de curvatura negativa constante, el autor) ya en 1794 (ver GW 8, p. 266), y se lo anunció a Gerling en una carta en 1819 (ver GW 8, p. 182). Por lo tanto, es fácil imaginar que Gauss fue conducido a una "percepción" geométricamente intuitiva sobre el validez de (57) para el caso general de una superficie de curvatura gaussiana no constante a partir del conocimiento de este caso fundamental y sobre la base de su rica experiencia en geometría diferencial en geodesia (con esferoides geodésicos y trigonométricos, pero también con cuestiones de cartografiado y plegado) obtenidos en los años 1812 a 1822.

[...] Aunque Gauss había estudiado intensamente el concepto de "área de superficie orientada" tal como lo usa en (57) (ver GW 8, p. 398, línea 2 desde abajo), no pensó que sus estudios correspondientes habían "madurado" lo suficiente... ¡La demostración (con sus argumentos geométricos tan impresionantes, que acabamos de rastrear del fragmento (55)) nunca fue publicada por Gauss! La razón de esto radica, por un lado, en su autocrítica de su propio bosquejo antes mencionado de una prueba para (57), y en particular de su concepto de "área de superficie orientada de la imagen esférica sobre una superficie curva" ( involucrados en esa prueba) que no ha definido con ese rigor analítico que suele aplicar. "

Este resultado conduce al teorema egregium discutido en las cartas de 1825 a Schumacher. El teorema de Gauss-Bonnet en sí mismo se menciona en la carta del 10 de octubre de 1846 a Gerling (traducción de Dombrowski):

" El teorema que le mencionó el Sr. Schweikart, que en cualquier eeometrv la suma de todos los ángulos exteriores de un polígono difiere de 360 ​​por una cantidad, ..., que es proporcional al área de la superficie, es el primer teorema que se encuentra casi sobre el umbral de esa teoría, un teorema cuya necesidad ya reconocí en 1794 ".

Así que la aparición de cuestiones relacionadas con la orientación en las cartas a Gerling y Schumacher en 1846 (conectadas a los temas más antiguos de sus acuerdos y desacuerdos con Kant) no es sorprendente.

En cuanto a las superficies no orientables, la cuestión es mucho más turbia. La "banda de Möbius" se describe en documentos privados de Listing y Möbius en 1858, casi simultáneamente y en términos similares, la descripción de Listing es varios meses anterior. Gauss murió en 1855, pero ambos eran alumnos de Gauss, y muchos historiadores atribuyen muchas de las ideas topológicas de Listing a Gauss. Listing mismo dijo algo en este sentido, aunque sin detalles. Biggs en su capítulo en Möbius y su banda especula explícitamente que Gauss podría haber sido la fuente común aquí, pero admite que el tema es indecidible:

Ambos describen la construcción en términos muy similares. ¿Es esta otra de esas instancias que a veces suceden en el descubrimiento científico, donde una idea cuyo tiempo está maduro aparece independientemente en diferentes lugares pero al mismo tiempo? Esa es ciertamente una posibilidad. ¿O hubo una razón común por el hecho de que tanto Möbius como Listing describieran la banda de Möbius aproximadamente al mismo tiempo? Si esto último, entonces lo más probable es que la razón común estuviera relacionada con el trabajo o con Gauss, quien, como sabemos, había sido muy interesado en este tipo o tema. Gauss había muerto en 1855, por lo que la idea no puede haber sido comunicada por él directamente, pero permanece la posibilidad de algún vínculo con su trabajo. Dudo que la cuestión se resuelva por completo alguna vez " .