Si las bolas se reemplazan por rectángulos, ¿se cumple el teorema de diferenciación de Lebesgue?

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Si las bolas se reemplazan por rectángulos, ¿se cumple el teorema de diferenciación de Lebesgue?

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medida lebesgue

supersuper

Sé que el teorema de diferenciación de Lebesgue establece que para $f\in L^1(\mathbb R^n)$ entonces

\underset{r \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{B_{r} (X)} \int_{B_{r} (X)} F

$\lim_{r\to 0^+}\frac1{B_r(x)}\int_{B_r(x)}f$ existe y coincide con

f (x)

$f(x)$ ae Me pregunto si las bolas se pueden reemplazar con rectángulos. Para ser precisos, si

f \in L^{1} (R^{n})

$f\in L^1(\mathbb R^n)$ , hace

\underset{r_{1}, \dots, r_{norte} \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{r_{1} \dots r_{norte}} \int_{[X_{1} - r_{1} / 2, X_{1} + r_{1} / 2] \times \dots \times [X_{norte} - r_{norte} / 2, X_{norte} + r_{norte} / 2]} F

$\lim_{r_1,\dots,r_n\to 0^+}\frac1{r_1\cdots r_n}\int_{[x_1-r_1/2,x_1+r_1/2]\times\cdots\times[x_n-r_n/2,x_n+r_n/2]}f$ existen y coinciden con

f (x)

$f(x)$ ae

He encontrado los siguientes resultados más generales de la diferenciación de Lebesgue, pero parece no ser aplicable en nuestro caso actual. Así que supongo que la respuesta es no. Pero no puedo encontrar ningún ejemplo.

Dejar $\mathcal {V}$ ser cualquier familia con la propiedad que (i) para algunos $c > 0$ , cada juego $U$ de la familia está contenida en una bola $B$ con $|U|\geq c\cdot |B|$ ; (ii) cada punto $x\in\mathbb R^n$ está contenido en conjuntos arbitrariamente pequeños de ${\mathcal {V}}$ .

Entonces el límite análogo existe y coincide con $f(x)$ ae como los conjuntos $U$ encoger a $x$ . Así, por ejemplo, si dejamos $Q_r(x)$ denota el cubo centrado en $x$ con diámetro $r$ , entonces
$\underset{r \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{q_{r} (X)} \int_{q_{r} (X)} F .$ $\lim_{r\to 0^+}\frac1{Q_r(x)}\int_{Q_r(x)}f.$ existe y coincide con $f(x)$ ae

¡Gracias!

Giuseppe Negro

Busca entre los posts de Julián Aguirre en este sitio web, la palabra clave es "excentricidad". (Tristemente falleció Julián Aguirre, hace dos años. Era profesor en la UPV de Bilbao).

José Avilez

Si su rectángulo se toma como un

n

$n$ -cubo, entonces su volumen es

r^{n}

$r^n$ . el volumen de la

n

$n$ -la pelota es proporcional a

r^{n}

$r^n$ , por lo que se cumple la condición que cita (llamada "reducción agradable").

supersuper

@GiuseppeNegro ¡Gracias! Supongo que te refieres a esta página: math.stackexchange.com/questions/28826/… Pero no estoy seguro de poder usar esto para resolver la pregunta, porque parecía asumir que "los rectángulos de excentricidad están entre dos límites

M

$M$ y

M^{- 1}

$M^{−1}$ .

Giuseppe Negro

@supersuper: exactamente. Necesita algunas suposiciones sobre los rectángulos, como mostró David.

Respuestas (1)

Si las bolas se reemplazan por rectángulos, ¿se cumple el teorema de diferenciación de Lebesgue?

Busca entre los posts de Julián Aguirre en este sitio web, la palabra clave es "excentricidad". (Tristemente falleció Julián Aguirre, hace dos años. Era profesor en la UPV de Bilbao).
Si su rectángulo se toma como un $n$ -cubo, entonces su volumen es $r^n$ . el volumen de la $n$ -la pelota es proporcional a $r^n$ , por lo que se cumple la condición que cita (llamada "reducción agradable").
@GiuseppeNegro ¡Gracias! Supongo que te refieres a esta página: math.stackexchange.com/questions/28826/… Pero no estoy seguro de poder usar esto para resolver la pregunta, porque parecía asumir que "los rectángulos de excentricidad están entre dos límites $M$ y $M^{−1}$ .
@supersuper: exactamente. Necesita algunas suposiciones sobre los rectángulos, como mostró David.

BS Thomson · Answer 1

Gran tema, para no ser abordado tímidamente.

La respuesta más corta es que para los rectángulos con lados paralelos a los ejes (generalmente llamados intervalos ) funciona para funciones integrables acotadas, pero no de otra manera en general. Si permite que los rectángulos tengan diferentes orientaciones, fallará mucho.

Todo lo que aprendí sobre esto se debió a la lectura del excelente artículo de encuesta de Andy Bruckner que publicó como HERBERT ELLSWORTH SLAUGHT MEMORIAL PAPER en el Monthly allá por 1971.

Diferenciación de Integrales, Andrew M. Bruckner

The American Mathematical Monthly, noviembre de 1971, vol. 78, No. 9, Parte 2: Diferenciación de integrales (noviembre de 1971), págs. i-iii+1-51

Publicado por: Taylor & Francis, Ltd. en nombre de la Asociación Matemática de América

URL estable: https://www.jstor.org/stable/3072337

He aquí un relato crudo de la motivación presentada allí. Interprete la pregunta de diferenciación de integrales de esta manera y quédese en $\mathbb R^2$ por el momento:

\begin{matrix} (#) & \underset{I ⟹ X}{límite} \frac{1}{m (I)} \int_{I} F (X) d m (X) = F (X) a . mi . ? \end{matrix}

$\lim_{I \implies x} \frac{1}{\mu(I)} \int_I f(x)\,d\mu(x) = f(x) \ \ a.e. ? \tag{#}$

Aquí $I\implies x$ es algo así como pelotas encogiéndose para $x$ o cuadrados, o intervalos, o rectángulos, etc. Quédese con $\mu$ como medida de Lebesgue también.

Así es como Andy presentó el problema:

“Siendo ese el caso, la situación es la siguiente. Si tomamos $\cal J$ ser la familia de discos o cuadrados (en cuyo caso la diferenciación relativa a ( $\cal J$ , $\implies$ ) a menudo se llama diferenciación ordinaria), entonces (ver el teorema de la Sección 2.1) se cumple para todo f localmente sumable [95], [137], [144]. si tomamos $\cal J$ ser la familia de intervalos bidimensionales (en cuyo caso la diferenciación relativa a ( $\cal J$ , $\implies$ .) se denomina diferenciación fuerte, entonces (#) se cumple para todas las f sumables acotadas (y algunas otras funciones), pero no para todas las funciones sumables [95], [144]. Finalmente, si tomamos la familia de todos los rectángulos, entonces (#) ni siquiera se cumple para todas las f sumables acotadas. De hecho, (#) ni siquiera se cumple para todas las funciones características de los conjuntos abiertos [21]. ¿Qué es lo que provoca estas diferencias? Esta pregunta puede ser respondida en varios niveles. Para comprender completamente las diferencias, se deben comprender las pruebas y los contraejemplos necesarios para justificar las afirmaciones. Pero, antes de entrar en los detalles necesarios, intentemos dar algún tipo de indicación de..."

REFERENCIAS: Si puede descargar una copia de la encuesta de Andy, es una excelente introducción a estas ideas con un rico relato de la historia y muchas referencias. Para obtener una descripción detallada de un libro de texto de parte de esta teoría, consulte el Capítulo 8, Diferenciación de medidas en esta referencia [1]. Otra referencia que utilicé y estudié es [2] de Miguel de Guzmán.

[1] http://classicalrealanalysis.info/documents/BBT-AlllChapters-Landscape.pdf

[2] https://link.springer.com/book/10.1007/BFb0081986

¡Guau! Su respuesta y la referencia son geniales. Agradezco mucho tu ayuda.

Si las bolas se reemplazan por rectángulos, ¿se cumple el teorema de diferenciación de Lebesgue?

supersuper

Giuseppe Negro

José Avilez

supersuper

Giuseppe Negro

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BS Thomson

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