¿Radon-Nikodym implica el teorema de representación de Riesz?

En el Álgebra lineal bien hecha de Axler tenemos el teorema

6.42: (Teorema de representación de Riesz) Supongamos$V$es un espacio de producto interno de dimensión finita y$\phi$es un funcional lineal en$V$. Entonces hay un vector único$u \in V$tal que

$$\phi(v) = \langle v, u\rangle$$ para cada$v \in V$

Actualmente estoy aprendiendo la teoría de la medida y me encontré con Radon-Nikodym

(Radon-Nikodym) Considere un espacio medible$(X,\mathcal{M})$en que dos$\sigma$-medidas firmadas finitas$\mu,\nu$se definen de tal manera que$\nu << \mu$($\nu$es absolutamente continua con respecto a$\mu$) entonces hay un$\mu$-función integrable$f: X \to \mathbb{R}$tal que

$$\nu(E) = \int_E f d\mu$$ para cada$E \in \mathcal{M}$y cualquier otra función$g$satisfacer esto es igual a$f$casi en todas partes con respecto a$\mu$.

Estos dos teoremas parecen muy similares. ¿Es posible pasar de Radon-Nikodym y obtener la Representación de Riesz? La integral en Radon-Nikodym "actúa" como el producto interno en la Representación de Riesz, la función$f$"actúa" como el vector$u$en Riesz, y la medida firmada$\nu$actúa como el funcional lineal$\phi$.

Me inclino a pensar que de alguna manera podemos recuperar Riesz de Radon-Nikodym. Para empezar, necesitaríamos de alguna manera obtener un$\sigma$-álgebra,$\mathcal{M}$en$V$de modo que$(V, \mathcal{M})$es un espacio medible. esto tiene que ser muy particular$\sigma$-álgebra para que de alguna manera la integral se pueda reducir al producto interno en$V$. También necesitaríamos mostrar que el funcional lineal es absolutamente continuo con respecto al producto interno.

Entonces, ¿es posible recuperar Riesz de Radon-Nikodym? ¿Si es así, cómo? Si no, ¿cuál es el problema?