Encuentre lim infn→∞Anlim infn→∞An\liminf _{n \to \infty}A_n y lim supn→∞Anlim supn→∞An\limsup_{n \to \infty}A_n

Una buena forma de pensar es así:

1.Lim sup de una secuencia de conjuntos$A_{n}$es el conjunto de todos$x$tal que$x\in A_{n}$para infinitamente muchos$n$.

2. Información límite de$A_{n}$es el conjunto de todos$x$tal que$x\in A_{n}$para todos menos un número finito$n$.

ves que todo$x\in [\frac{1}{2},1]$. Que se encuentra en$A_{n}$para todos los impares$n$. y todo$x\in (0,\frac{3}{4})$se encuentra en$A_{n}$para infinitos enteros pares$n$.

Entonces$\lim\sup A_{n}=[\frac{1}{2},1]\cup (0,\frac{3}{4})=(0,1]$.

Solo ahora$x$tal que$x\in[\frac{1}{2},\frac{3}{4})$se encuentra en$A_{n}$para todos menos un número finito$n$. Entonces$\lim\inf A_{n}=[\frac{1}{2},\frac{3}{4})$.

Encuentro útil pensar en lo que están haciendo las siguientes dos secuencias de conjuntos.

Para el$\liminf$, pienso en la secuencia

$$\begin{align} \bigcap_{j = 1}^{\infty} A_j\\ \bigcap_{j = 2}^{\infty} A_j\\ \bigcap_{j = 3}^{\infty} A_j\\ \vdots \end{align}$$

El$\liminf$es la unión de todos estos, y dado que claramente se están haciendo más grandes, no tengo que preocuparme por los primeros, por muchos que sean. Solo puedo concentrarme en el comportamiento final.

El lado izquierdo de$A_n$está oscilando, la mitad del tiempo acercándose$(0$y la mitad del tiempo acercándose$[\frac{1}{2}$. El lado derecho de$A_n$también está oscilando, la mitad del tiempo acercándose$\frac{3}{4})$y la mitad del tiempo acercándose$1]$.

Así que volviendo a la$\liminf$, ¿cuál es el comportamiento final de la secuencia creciente anterior? Claramente, en última instancia, va a contener$[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$, así que ese es el$\liminf$.

Para el$\limsup$Puedo considerar la secuencia

$$\begin{align} \bigcup_{j = 1}^{\infty} A_j\\ \bigcup_{j = 2}^{\infty} A_j\\ \bigcup_{j = 3}^{\infty} A_j\\ \vdots \end{align}$$

El$\limsup$es la intersección de todos estos, y dado que claramente se están volviendo más pequeños, no tengo que preocuparme por el primero, por muchos que sean. Solo puedo concentrarme en el comportamiento final.

Con base en el análisis anterior, tomamos las otras partes de la oscilación, porque esta vez estamos tratando con uniones. El intervalo que está en al menos uno de los$A_i$como$i$se hace grande es$(0, 1]$, así que ese es el$\limsup$.