Muestre que si GGG es un grupo libre con nnn generadores libres, entonces cualquier sistema de generadores libres para GGG tiene nnn elementos.

Este es el Corolario 69.5 de la sección 69 de Munkres, que dice lo siguiente:

Si$G$es un grupo libre con$n$generadores libres, entonces cualquier sistema de generadores libres para$G$tiene$n$elementos.

Definió grupo libre y sistema de generadores libres de la siguiente manera:

[Definición]

Dejar$\{a_{\alpha}\}$ser una familia de elementos de un grupo$G$. Supongamos que cada$a_{\alpha}$genera un subgrupo cíclico infinito$G_{\alpha}$de$G$. Si$G$es el producto libre de los grupos$\{G_{\alpha}\}$, entonces$G$se dice que es un grupo libre, y la familia$\{a_{\alpha}\}$se llama un sistema de generadores libres para$G$.

Para probar este corolario, primero demostró un teorema, establecido de la siguiente manera:

[Teorema 69.4]

Si$G$es un grupo gratuito con generadores gratuitos$a_{\alpha}$, entonces$G/[G,G]$es un grupo abeliano libre con base$[a_{\alpha}]$, dónde$[a_{\alpha}]$denota el coset de$a_{\alpha}$en$G/[G,G]$.

Entonces la prueba de este corolario es de una línea:

Prueba:

el grupo abeliano libre$G/[G,G]$tiene rango$n$.

Esto me confundió. Por su definición, el sistema de generadores libres es simplemente el conjunto del generador de cada subgrupo cíclico infinito$G_{\alpha}$en el producto gratuito, entonces, ¿de dónde viene "cualquier sistema"?

Entonces por su definición, si$G$tiene$n$generadores libres, ¿implica por definición que el sistema de generadores tiene$n$¿elementos?

¿Por qué tomó un desvío y usó el rango de grupo abeliano libre?

Creo que tal vez me confundí con la definición de sistema de generadores, pero la definición que cité anteriormente es la única definición sobre sistema de generadores en el libro.

¿Alguna idea? ¡Gracias!